高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. 注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零. ②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为. 2. 函数在点处连续与点处可导的关系： ⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果在点处可导，那么点处连续. 事实上，令，则相当于. 于是 ⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的. 例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为 4. 求导数的四则运算法则： （为常数） 注：①必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设，，则在处均不可导，但它们和 在处均可导. 5. 复合函数的求导法则：或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数在区间内恒有=0，则为常数. 注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理） 当函数在点处连续时， ①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值. 也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点