1.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用-2018年八年级下册数学名师学案（湘教版）

第2课时　含30°角的直角三角形的性质及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的__一半__. 2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于__30__度. ►　含30°角的直角三角形的性质[来源:学科网] 1.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝ 30°，D为斜边AB的中点，则图中与线段AC长度相等的线段有(D) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 ,第1题图)　　　,第2题图) 2.如图，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，F是AB的中点，FD＝3，则BD＝__3__. 3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，D为垂足.求证：AD＝3BD. 证明：在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝AB. 又CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°. 又∠A＋∠B＝90°， ∴∠BCD＝∠A＝30°， ∴BD＝AB，∴AD＝3BD.BC，∴BD＝ ►　含30°角的直角三角形的判定 4.(导学号81306002)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，∠A的度数为(A) A.30° B.45° C.60° D.75° 5.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD＝2CD，则∠DAB的度数是__15°__.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 6.如图，△ABC的边AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，若∠B＝30°， 求证：BE＝2EC. 证明：∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE， ∴∠B＝∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝120°，∴∠AEC＝60° 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°， ∴∠C＝90°，∴BE＝AE＝2EC. 　　(1)两条性质存在的前提条件都是在直角三角形中；(2)两条性质的条件和结论是互逆的. ►　含30°角的直角三角形的性质的应用 7.小华在轮船上，当轮船位于B处时，看见前面岛上有个灯塔A，仰角为15°.当轮船向岛的方向行驶6 km到达C处时，此时小华看灯塔A的仰角为30°，求灯塔离海平面的高度. 解：过点A作AD⊥BC于D， ∠ACD＝∠B＋∠BAC，∴∠BAC＝15°＝∠B， ∴AC＝BC＝6，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，[来源:Z§xx§k.Com] ∴AD＝AC＝3 km， 因此，灯塔离海平面3 km. 　　1.若要让存在倍分关系的两条线段是同一个三角形的直角边和斜边，则应设法证直角边所对的角为30°，利用直角三角形的性质可证出倍分关系，求30°角往往是解题的关键，要充分利用题中的垂直、等边三角形中60°角及题中特殊角等条件. 2.若要证存在倍分关系的两条线段不是同一个三角形的两边时，可由第三条线段过渡，即证出第一条线段与第三条线段的关系，再证出第二条线段与第三条线段的关系，进而得出第一条线段与第二条线段的倍分关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2017·怀化英才学校期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且交BC的延长线于F.若∠F＝ 30°，DE＝1，则EF的长是(B) A.3 B.2 C. D.1 2.(易错题)已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短边BC＝4 cm，则最长边AB的长是(D) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 3.如图所示，一棵大树在一次强台风中从离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角.这棵大树在折断前的高度是(B) A.10 m B.15 m C.25 m D.30 m ,第3题图)　　　,第4题图) 二、填空题(每小题4分，共12分) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝2，则BE的长是__4__. 5.(中考·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，则DE长度是__2__. ,第5题图)　　　,第6题图) 6.如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE＝2，则AE的长为(B) A. D.2[来源:Z.xx.k.Com] B.1 C. 三、解答题(共26分) 7.(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC， AD为∠BAC的平分线