第1章 1.1.2 余弦定理（同课异构课件2）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A版(浙江)必修5）

1.1.2 余弦定理 第一章 解三角形 (1)正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两角和一边，求其他角和边 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 1.复习回顾： (3) 正弦定理的变形： (2) 三角形面积公式： 如果已知一个三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的定理，该三角形大小形状完全确定，那么如何解出这个三角形呢？ 思考： 思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB 与CA 的夹角为∠C， 求边c. ﹚ 由向量减法的三角形法则得 2.余弦定理 （1）向量法 C B A c a b 设 C B A c a b ﹚ ﹚ 由向量减法的三角形法则得 思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c. 设 C B A c a b ﹚ 余弦定理 由向量减法的三角形法则得 思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c. 设 余 弦 定 理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 C B A b a c 证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为： （2）解析法 b A a c C B x y 当角C为锐角时 （3）几何法 当角C为钝角时 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。 A B C a b c D b A a c C B D C B A a b c 证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA B C c b a A 同理有： D 推论： （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角； 3.余弦定理的应用 例3 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=410 ，解三角形（边长精确到1cm，角度精确到10） 练习 2. 已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600, 求c及S△ABC 整理得：c2-8c+15=0 解得：c1=3, c2=5 （2）已知三边，求三个角。 例4 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7 ，解三角形（角度精确到1’） 练习4.在△ABC中，已知a= ,b=2, c= ,解三角形. 解：由余弦定理得 5. 在 中，已知b= ，c= ，A= ，求a. 6. 在 中，已知a= ，b= ，c= ，求A、B、C的值。 （3）判断三角形的形状 例5 在△ABC中，　　　　　　， 那么Ａ是（　） Ａ. 钝角　　　　　　　Ｂ. 直角 Ｃ. 锐角　　　　　　　Ｄ. 不能确定 Ａ 提炼：设a是最长的边，则 △ABC是钝角三角形 △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形 7. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状 分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。 变式：若已知三边的比是7:10:6，怎么求解 练习： 8.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ） 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 B A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。 则有：b是最大边，那么B 是最大角 解： 4.小结: （1）余弦定理： （2）推论: （3）余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 已知两边及其夹角，求第三边和其他 两个角。 2) 已知三边求三个角。 3) 判断三角形的形状。 $$