第1章 1.1.2 余弦定理（课时作业）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A版(浙江)必修5）

1.1.2　余弦定理 基 础 过 关 1.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于(　　) A.1 B. C.2 D.4 解析　bcos C＋ccos B＝b·＝a＝2. ＝＋c· 答案　C 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，则b＝(　　) ，c＝2，cos A＝ A. C.2 D.3 B. 解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，故选D.，解得b＝3 答案　D 3.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(　　) A.90° B.120° C.135° D.150° 解析　设中间角为θ，则cos θ＝， ＝ ∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°，180°－60°＝120°为所求. 答案　B 4.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝______. 解析　a2－c2＝b2＋bc，b2＋c2－a2＝－bc，cos A＝－， A＝120°. 答案　120° 5.三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________. 解析　易知：， ＝－>b，设最大角为θ，则cos θ＝>a， 又0°＜θ＜180°，∴θ＝120°. 答案　120° 6.在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状. 解　法一　由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，b＝ ∴a2＋b2＝c2或a＝b， 故三角形为等腰三角形或直角三角形. 法二　由正弦定理，知原等式可化为(sin A－sin Ccos B)·sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A， ∴sin Bcos B＝sin Acos A， ∴sin 2B＝sin 2A， ∴2B＝2A或2B＋2A＝π， ∴A＝B或A＋B＝， 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 7.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边的长. 解　由得 ∴a>b>c，∴A＝120°， ∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°， 即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×， 即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.因此a＝14， c＝6. 能 力 提 升 8.如右图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为(　　) A.50 m B.45 m C. 50 m D.47 m 解析　依题意得OD＝100 m，CD＝150 m，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°， 因此在△DOC中， 由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CDcos ∠ODC， 即OC2＝1002＋1502－2×100×150×， 解得OC＝50(m). 答案　C 9.在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD为边BC上的高，则AD的长是________.，BC＝1＋ 解析　∵cos C＝， ＝ ∴sin C＝. .∴AD＝AC·sin C＝ 答案　 10.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________. 解析　由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得 ＝， ·，即cos B＝· 所以sin B＝，又B为△ABC的内角， 所以B为. 或 答案　或 11.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值. 解　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝， 所以ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中， sin B＝，[来源:学#科#网]＝ 由正弦定理得sin A＝. ＝ 因为a＝c，所以A为锐角， 所以cos A＝. ＝ 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝. 探 究 创 新 12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cos B＝. (1)求的值； ＋ (2)设，求a＋c的值.＝· 解　(1)由cos B＝. ＝，B∈(0，π)，得sin B＝ 由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C. 于是＋＝＋ ＝＝ ＝. ＝＝ (2)由， 得ca·cos B＝＝· 由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·