第1章 1.2 第3课时 三角形中的几何计算（课时作业）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A版(浙江)必修5）

第3课时　三角形中的几何计算 基 础 过 关 1.在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为等于(　　) ，则 A. B. C. D.3 解析　由S△ABC＝可知c＝4. bcsin A＝ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a＝. 所以. ＝＝ 答案　A 2.在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　)，BD＝ A.8 B.16 C.18 D.32 解析　设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b， 则或⇒⇒ 所以cos∠BAD＝， ＝ 所以sin∠BAD＝＝16. ，从而S▱ABCD＝4×5× 答案　B 3.若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝(　　) A. D. C. B. 解析　依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c， 设3c＝12k(k＞0)，则有a＝2k，b＝3k，c＝4k；由余弦定理得cos B＝. ＝＝ 答案　D 4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝60°，a＝＝________.，则 解析　利用正弦定理，＝2.＝＝2R＝＝ 答案　2 5.在△ABC中，∠A＝60°，点M为边AC的中点，BM＝2，则AB＋AC的最大值为________. 解析　依题意，设∠ABM＝θ，其中0°＜θ＜120°.在△ABM中，.sin(θ＋α)，当sin(θ＋α)＝1时，AB＋AC的值最大，因此AB＋AC的最大值是4，则有AB＋AC＝4＝sin α，其中α∈＝cos α，，记cos θ＝4＝8sin θ＋4sin(120°－θ)＝10sin θ＋2＋，AC＋AB＝，AC＝，∴AB＝＝＝ 答案　4 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，求△ABC的周长.，△ABC的面积为 解　(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝. ，所以C＝ (2)由已知，. ，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋，又C＝absin C＝ 7.在△ABC中，已知A＝45°，cos B＝. (1)求cos C的值. (2)若BC＝10，D为AB的中点，求CD的长. 解　(1)因为cos B＝，且B∈(0，π)， 得sin B＝， ＝ cos C＝cos(180°－A－B)＝cos(135°－B) ＝cos 135°cos B＋sin 135°sin B ＝－. ＝－×＋× (2)由(1)可得sin C＝， ＝，即＝，由正弦定理得＝＝ 解得AB＝14.在△BCD中，BD＝7，CD2＝72＋102－2×7×10×＝37， 所以CD＝. 能 力 提 升 8.已知锐角△ABC中，|的值为(　　) ·，则|＝1，△ABC的面积为|＝4，| A.2 B.－2 C.4 D.－4 解析　S△ABC＝， |sin A＝2sin A＝||| 所以sin A＝，因为△ABC是锐角三角形， 所以cos A＝. 所以＝2. |cos A＝4×1×||＝|· 答案　A 9.直角三角形的周长为6＋2，斜边上的中线长为2，则三角形的面积等于________. 解析　因为直角三角形有斜边上的中线长为2，所以斜边长为4. 如图，AB＝4，AC＋BC＝2＋2. 令∠CBA＝θ，θ为锐角， 则BC＝4cos θ，AC＝4sin θ. 所以4cos θ＋4sin θ＝2＋2， 所以sin， ＝ 所以θ＋， ＝π，θ＋＝ 所以θ＝， 或θ＝ 当θ＝， 时，BC＝AB·cos θ＝2 所以S△ ABC＝. 时，同理可得S△ABC＝2，当θ＝＝2××4×2AB·BC·sin θ＝ 答案　2 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积为S＝________. 解析　由正弦定理＝2R， ＝ 所以a＝， ，sin B＝ 所以a＞b，所以A＞B， 所以B＝. .所以S△ABC＝，C＝ 答案　 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2). (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值. 解　(1)由题意可知×2abcos C. absin C＝ 所以tan C＝. ，因为0<C<π，所以C＝ (2)由已知sin A＋sin B＝