2018-2019新设计数学人教A版必修4（课件+讲义+习题）：第一章　三角函数(函数主线) (共31份打包)

章末复习课 网络构建 核心归纳 1．任意角与弧度制 (1)与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． (2)角度与弧度的互化：1°＝)°． rad,1 rad＝( (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝|α|r2． l r＝ 2．任意角的三角函数 设任意角α的终边上任意一点P(x，y)，则sin α＝(x≠0)． ，tan α＝，cos α＝ 3．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1；＝tan α． 4．诱导公式 (1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． (2)功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用． 5．三角函数的图象 (1)正弦曲线： (2)余弦曲线： (3)正切曲线： 6．三角函数的性质(表中k∈Z) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x∈R，且x≠＋kπ} 单调性 增区间：[－＋ 2kπ，＋2kπ]， 减区间：[＋2kπ]，＋2kπ， 增区间：[－π＋ 2kπ，2kπ]，减区间：[2kπ，π＋2kπ]， 增区间：(－＋ kπ，＋kπ) 周期性 2π 2π Π 图象的对称轴 x＝＋kπ， x＝kπ， 无 图象的对称中心 (kπ，0)， (＋kπ，0)， (kπ，0) 要点一　任意角三角函数的定义 利用定义求三角函数值的两种方法： (1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值． (2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． ，正切值tan α＝，余弦值cos α＝ 【例1】　已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)． (1)若m＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0，且sin α>0，求实数m的取值范围． 解　(1)若m＝2，则P(－3,4)， 所以x＝－3，y＝4，r＝5， 所以sin α＝，，tan α＝－，cos α＝－ 故5sin α＋3tan α＝5×)＝4－4＝0． ＋3×(－ (2)由题意知，cos α＝>0，≤0，sin α＝ 即x≤0，y>0， 所以所以－2<m≤3． 【训练1】　已知角θ的终边经过点P(－m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． ，m) (m≠0)且sin θ＝ 解　由题意，得r＝， 所以sin θ＝m． ＝ 因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角． 当m＝)，角θ是第二象限角，，，点P的坐标为(－时，r＝2 所以cos θ＝，＝－＝ tan θ＝；＝－＝ 当m＝－，＝－＝)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝，－，点P的坐标为(－时，r＝2 tan θ＝.＝＝ 典例 迁移 　要点二　同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转化，利用＝tan α可以实现角α弦切互化． (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α， (sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α． (3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解． 【例2】　(1)已知tan α＝)，则sin α－cos α＝________； ，α∈(0， 解析　因为tan α＝，＝ 由 解得sin α＝，，cos α＝ 所以sin α－cos α＝． ＝－－ 答案　－ (2)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝． ①求tan α的值； ②把用tan α表示出来，并求其值． 解　①由sin α＋cos α＝， 得1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－， 因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝ ＝ ＝，＝ 故得sin α＝． ，tan α＝－，cos α＝－ ②，＝＝ 又tan α＝－， 所以． ＝－＝ 【迁移】　本例(2)中保持条件不变，求： （1）；（2）sin2α＋2sin αcos α． 解　（1）原式＝． ＝＝ （2）原式＝． ＝－＝＝ 要点三　诱导公式的应用 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±