浙教版九年级数学上册第三章垂径定理—知识讲解（提高）

垂径定理—知识讲解（提高） 责编:常春芳 【学习目标】 1.理解圆的对称性； 2.掌握垂径定理及其推论； 3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明. 【要点梳理】 知识点一、垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图，几何语言为： CD是直径 要点诠释： 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1. （2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD， ∴F为CD的中点，即CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8， ∴OA=4， ∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2， 在Rt△OEF中，∠DEB=30°， ∴OF=OE=1， 在Rt△ODF中，OF=1，OD=4， 根据勾股定理得：DF==， 则CD=2DF=2． 【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 举一反三： 【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【答案】 解：如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N