专题09 圆﹑相似三角形复习必刷压轴11大类汇编（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题09 圆﹑相似三角形复习必刷压轴11大类汇编 题型1 四点共圆 题型2 圆幂定理 题型3 垂径定理 题型4 定弦定角（最值问题） 题型5 定角定高模型（探照灯模型） 题型6 阿氏圆（最值问题） 题型7 瓜豆原理 题型8：(双)A字型相似（含动点问题） 题型9：母子型相似 题型10：旋转相似 题型11：K字型相似 题型一 四点共圆 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 2．（2025·广东广州·一模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 题型二 圆幂定理 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·一模）【 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 4．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 题型三 垂径定理 1．（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 题型四 定弦定角（最值问题） 1．（2023·贵州六盘水·二模）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段的最小值为 ． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 题型五 定角定高模型（探照灯模型） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为 ． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）[学习心得]（1）小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则 ． [初步运用]（2）如图2，在四边形中，，，则 ；    [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）如图4，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点C和D运动，连接和交于点P，连接，则的最小值是 ． （5）如图5，在中，，是边上的高，且，．求的长．    题型六 阿氏圆（最值问题） 1．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 2．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 题型七 瓜豆原理 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 题型八 (双)A字型相似（含动点问题） 1．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 2．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 3．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 题型九 母子型相似 1．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 2．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 题型十 旋转相似 1．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 2．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 3．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 4．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 题型十一 K字型相似 1．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 2．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 3．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 4．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆﹑相似三角形复习必刷压轴11大类汇编 题型1 四点共圆 题型2 圆幂定理 题型3 垂径定理 题型4 定弦定角（最值问题） 题型5 定角定高模型（探照灯模型） 题型6 阿氏圆（最值问题） 题型7 瓜豆原理 题型8：(双)A字型相似（含动点问题） 题型9：母子型相似 题型10：旋转相似 题型11：K字型相似 题型一 四点共圆 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．（2025·广东广州·一模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，最大值为8，最小值为0 【分析】（1）令，求出值即可； （2）利用一元二次方程根的判别式解决函数交点问题； （3）根据题意易得，进而可知，根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点，再根据四点共圆，求出坐标，进而即可求出，，，从而求出解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ； （2）解：抛物线始终在直线下方， 当时，抛物线与直线有交点，不成立， 当时，抛物线开口向下，与直线没有交点， ， ， ， ； （3）解：直线且过点， 直线解析式为， ， ， ， ， 当时，不成立， ， 如图， 则为等腰三角形，， 根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点， 点、、、四点共圆， 设点为外接圆圆心 过作于， 点在上， 连接， 在中，， 解得半径，， 点，点在第一象限内， ， ，，， 将，，代入抛物线得： ，解得：， ， ， ， 最大值为8，最小值为0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与直线交点问题、四点共圆、二次函数最值等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； （3）延长至点，使得，过点作于，证明得，再利用勾股定理及 30 度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2）证明：如图3，假设点在外，设交于点，连接， 点在上， ， 在中，， ， 这与已知条件矛盾， 点不在外； （3）解：的值不会发生改变；理由如下： 已知四边形中，，若，平分，记，延长至点，使得，过点作于， ，，，四点在同一个圆上， 平分， ， ， ； ，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 平分，， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 题型二 圆幂定理 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，由三角形外角的性质得到，继而得到，得出弧的度数不可能是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 弧的度数不可能是， 故选：A ． 3．（2025·河南郑州·一模）【 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 【答案】（）见解析；（）见解析；（）． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，切线的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）设经过，，三点的圆的圆心为，过点作的垂线，分别交，于点，连接，证明是等边三角形，则，由，，则，所以，，过点作于点，则，再由勾股定理和线段和差即可求解； 【详解】解：（）， 证明：如图()，设与交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴； （）将球传给乙，让乙射门好， 如图，连接，， 同（）理得：， ∵球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进， ∴将球传给乙，让乙射门好； （）设经过，，三点的圆的圆心为， 如图()，过点作的垂线，分别交，于点，连接， 则，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴． 4．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，根据，得出为直径，根据等边对顶角得出，圆周角定理即可得出． （2）连接，，设半径为，根据切线的性质得出．结合，得出，是等腰直角三角形，勾股定理求出，即可得，求出．根据，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：连接， 过点，， 为直径， ， ， ． （2）解：连接，，设半径为， 与切于点， ． ， ，是等腰直角三角形， ， ， ． ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】该题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型三 垂径定理 1．（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，求出，设半径为，在中利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ∵，最大深度是，即， ∴， 设半径为，则， 在中， 即 解得 ∴， 故答案为：5． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【详解】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 题型四 定弦定角（最值问题） 1．（2023·贵州六盘水·二模）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、垂线段最短和最值问题，解题的关键点在于根据圆周角定理得到；连接、，过点作于点，如图，先根据含角的直角三角形三边的关系计算出，再根据圆周角定理得到，所以，则，然后根据垂线段最短得到的最小值为，从而得到的最小值． 【详解】解：连接、，过点作于点，如图， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵点是边上的一个动点， ∴当点在点时，的值最小， 即的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及轨迹和最值问题，解题的关键是确定点的运动轨迹并利用几何性质求的最小值． （1）利用等边三角形性质得、，通过证明，推出，结合角的和差及对顶角相等，最终证得． （2）由确定点的运动轨迹是一段劣弧，连接，通过全等三角形及角度关系求出和半径，利用“两点之间线段最短”，得的最小值． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 在和中， ． ． ， ． ． ． ． ，，， ． ． （2）∵． 点的运动轨迹是点为圆心，半径为的劣弧，且． 如图所示，连接． ，，， ． ，． ， ． ． ， ． ． ． 的最小值为． 题型五 定角定高模型（探照灯模型） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，过点作交延长线于点，连接，则，，由题意得，利用等腰直角三角形的性质得到，，进而得到，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，作的外接圆，过点作交延长线于点，连接， 则，， 由题意得，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最大值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定，结合图形构造三角形外接圆求线段最值是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）[学习心得]（1）小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则 ． [初步运用]（2）如图2，在四边形中，，，则 ；    [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）如图4，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点C和D运动，连接和交于点P，连接，则的最小值是 ． （5）如图5，在中，，是边上的高，且，．求的长．    【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）；（5） 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）如图所示，取的中点O，连接，，，证明出，得到，然后求出，得到点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，得到当点O，P，C三点共线时，有最小值，勾股定理求出，进而求解即可； （5）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、．    ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）作图如下： 由图知，；同理．    （4）如图所示，取的中点O，连接，，，    根据题意得， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动 ∴ ∴当点O，P，C三点共线时，有最小值 ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为； （5）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴．   ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 题型六 阿氏圆（最值问题） 1．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 2．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 题型七 瓜豆原理 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，取的中点，连接，证明，即可证明，从而，得在以为圆心，为半径的半圆上运动，故当共线时，最小，此时，即可得最小为． 本题考查旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出的轨迹． 【详解】解：延长到，使，连接，取的中点，连接，如图： 四边形是正方形， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在以为圆心，为半径的半圆上运动， 当共线时，最小， 如图： ， ， 最小为； 故答案为：． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，三角形的中位线和点与圆的位置关系，先求出点的坐标，计算出圆心的坐标，连接，取的中点，当点与点重合时，连接，得，则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，由勾股定理得，所以最小值为． 【详解】解：， 令，则， 解得，或， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴, ∴， 当时，， ∴， ∴, 连接，取的中点，则, 当点与点重合时，连接，如图， ∴是的中位线， ∴， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图， 由勾股定理得，， ∴的最小值为：， 故答案为：． 题型八 (双)A字型相似（含动点问题） 1．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 2． 中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 3．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或 【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得； （2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN； （3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得． 【详解】解：（1）如图1， 在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM， ∴, ∴AM＝2CF＝4， ∴BM＝AB﹣AM＝5， ∴， ∴BN＝10； （2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在， ∴CF＝9﹣2CF， ∴CF＝3， 当点M和B点重合时， AB＝2CF， ∴CF＝4.5， ∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5， 如图2， 当0＜x＜3时， 作EG⊥BC于G， 由（1）知， EG＝3，AM＝2CF＝2x， ∴BM＝9﹣2x， 由得，， ∴， ∴y＝ ＝ ＝； 如图3， 当3＜x＜4.5时， 由得， ∴CN＝， ∴y＝ ＝； （3）如图4， ∵， ∴， ∴CG＝CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4， ∴BE＝5， 当BM＝BE＝5时， 9﹣2x＝5， ∴x＝2， 如图5， 当EM＝EB＝5时， 作EH⊥AB于H， ∴BM＝2BH＝2EG＝6， ∴9﹣2x＝6， ∴x=， 如图6， 当EM＝BM时， 作MH⊥BE于H， 在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝， ∴BM＝， ∴9﹣2x＝， ∴x＝， 综上所述：x＝2或或． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键． 题型九 母子型相似 1．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用两组对角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据，得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴． 2．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到对应边成比例，将式子变形即可得证； （2）先证明，得到对应边成比例，将式子变形得到，进而化简即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示， 是斜边上的高， ， ， ． ， ， ， ； （2）证明：，， ， ． ． 题型十 旋转相似 1．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 2．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 3．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1），． ， ， ，即， ； （2）①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①当时，连结，矩形和矩形都是正方形，可证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； ②连结，根据勾股定理可求得，，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （2）当，时，根据（1）的方法，同样可求得，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （3）分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结，根据勾股定理，可求得，，即得答案； ②点N在矩形外部时，连结，同理可求得另一个答案． 【详解】解：（1）①当时，如图，，，连结， 则矩形和矩形都是正方形， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； 故答案为：； ②连结， 当时， ，， 在中，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； （2）当，时， 由（1）可知，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）当，，，且矩形旋转至三点共线时，分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结， ，，，， ，，， 在中，， 在中，， ； ②点N在矩形外部时，连结， 由①知，，， ； 由①②可知，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据图形运动过程中画出符合题意的图形是解题的关键． 题型十一 K字型相似 1．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 2．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； 如图2，延长交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），，理由如下： 如图3，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图4，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）知，， ， 即， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键． 3．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 4．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)时，时，时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $