专题04 导数及其应用（教学案）-2019年高考理数二轮复习精品资料

高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现． 预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查． 1．导数的定义 f ′(x)＝. ＝ 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)． 3．导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 ①c′＝0(c为常数)；　 　②(xm)′＝mxm－1； ③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx； ⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna； ⑦(lnx)′＝. ； ⑧(logax)′＝ (2)导数的四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ③[. ]′＝ ④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x. 4．函数的性质与导数 在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减． 5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值． 被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S. ①当f(x)>0时，S＝f(x)dx； ②当f(x)<0时，S＝－f(x)dx；学科网 ③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S＝f(x)dx. f(x)dx－ 高频考点一　导数的几何意义及应用 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________． 【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. (2)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 【变式探究】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 高频考点二　导数与函数的极值、最值 例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【变式探究】 (1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1) (2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　) A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 【方法技巧】 1.函数图象是研究函数单调性、极值、最值最有利的工具． 2．可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，当x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0. 3．极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值；在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件． 4．f′(x)在f′(x)＝0的根的左右两侧的值的符号，如果“左正右负”，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果“左负右正”，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值． 【变式探究】 1．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－115，则a的值是(　　) A．－ B. C．2 D．5 高频考点三　导数与函数的单调性 例3、（2018年全国Ⅱ卷理数）若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 【变式探究】若函数f(x)＝x2＋ax＋是增函数，则a的取值范围是(　　) 在 A．[－1,0]　 B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)