第10章 概率单元复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第十章概率用 88888888889 单元复习归纳 国ii1 知识体系构建 ii1i1iiii国 列举法 样本点和样本空间 图表法 有限样本空间与随机事件 树状图法 随机事件 事件的包含与相等 事件的关系和运算 事件的并（和）与交（积） 事件的互斥与对立 随机事件 与概率 概率的定义概率的意义 有限性 古典概型的特征 等可能性 古典概型 攀 古典概型的概率公式P(A)==nA nn(2) 古典概型的应用 概率的基本性质 如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B) 事件的相 推广：如果事件A(i=1,2,…,n)两两独立， 互独立性 那么P(AA…A)=P(A)P(A,)P(A,) 频率的稳定性用频率估计概率 频率与 概率 随机模拟 HHRIIBIIIAAIBBABIAIIBIBAIII 高考创新题型 IIAmmmnn 例①[新情境](2025·北京怀柔 获胜.假设甲投中“有初”的概率为3，投中“贯 区期末)甲和乙两人进行投壶比赛，一 视频微课 场比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射” 耳”的概率为，投中“散射”的概率为。，投中 “双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯 耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六 “双耳”的概率为2，投中“依竿”的概率为36， 筹”，“依竿”算“十筹”，比赛三场得筹数最多者乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷相互独 243 重难点手册高中数学必修第二册RJA 立.若比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先 个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束 打探到齐王第一场比赛上派出上等马，田忌为 时，甲获胜的概率为( 使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略， A搬 R贵 13 C.121 D. 83 则其获胜的概率最大为 432 解析设齐王有上、中、下三等的三匹马A,B,C, 解析（若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得 田忌有上、中、下三等的三匹马a,b,c,所有比赛的方 三筹)由题意可知，甲、乙投掷一次获得的筹数相应的 式有Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc, 概率如下表所示 Ca;Ac,Ba,Cb;Ac,Bb,Ca,共6种. 筹数 2 4 5 6 10 0 若齐王第一场比赛派出上等马，则第一场比赛田 1 1 1 1 1 忌必输，此时他应先派下等马c参加 3 6 9 12 36 18 就会出现两种比赛方式：Ac,Ba,Cb和Ac,Bb, 分以下四种情况： Ca,其中田忌能获胜的为Ac,Ba,Cb.故此时田忌获 ①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概 胜的概率最大为2 率=×器品： 答案2 ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况 发生的概率卫：=日×（侣+）品： 例3[新情境](2025·浙江天台 回京回 中学单元检测)平面区域M是平面区 ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况 视频微课 域N的一部分，在N内随机取一点， 发生的概P,=立×（+=6 事件A表示所取点在区域M内，则P(A)= ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或 冬心的费大量试险表明，随香试验次数 “五筹”或“六筹”，此种情况发生的概率卫，=36×(1 n的增大，事件A发生的频率fn(A)逐渐稳定 1 35 于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳 36-1296 定性，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 故甲获胜的概率P=P1十P2+P,十P4=1O8 (1)为了估算曲线y=sinx(x∈[0，π])与 111135 83 x轴围成的区域M的面积，记点集{(x,y) 162T216F1296432 0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N(矩形及 答案D 内部)，如图1所示.利用计算机在区域N内随 例2[数学文化](2025·浙江杭 机生成10000个点，统计后发现，有6400个 州学军中学单元检测)“田忌赛马”的故 视频微课 点落在区域M内，试估算M的面积.（π≈ 事千古流传，故事大意是：在古代齐国， 3.14,结果保留一位小数) 马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等。一天， (2)1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种 齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中 方法—蒲丰投针法.在平面上有一组平行直 各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局 线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随 两胜.已知田忌每个等次的马比齐王同等次的 机投下一枚质地均匀且长度为2的细针，记细 244 第十章概率 针的中点到最近的一条平行直线的距离为y, (2)①当中点在平行线上时，y=0,当针的一个 细针所在直线向上的方向与平行直线向右的 端点在平行线上时，y=sinx,可得不等式. 方向所成角为x(0<x<π)，如图2所示.特别 ②试验条件对应的，点集{(x,y)|0≤x<π，0≤ 地，当细针所在直线与平行直线平行或重合 y≤3}，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集 时，x=0. {(x,y)川0≤x<π，0≤y≤sinx},先分别求出，点集 ①当细针与平行直线有公共点时，写出y 表示的面积，再相除可得针与平行直线有公共，点的 概率，即可求解】 与x满足的不等关系式。 ②记录投针次数为n(n足够大)，细针与 例④[新情境]唐代诗人温庭筠的《新添 平行直线有公共点次数为m.一次投针结果 声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入 对应平面直角坐标系上的一个点(x,y),利用 骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情.为迎 (1)的结论，求圆周率π的近似值（用m,n 接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图 表示) 所示)，棱长为1的水晶正八面体（八个面都是 全等的正三角形)，中间的球体部分是被挖空 的（表面不被破坏），并嵌入了红豆. N M 见频微课 图1 图2 解析(1)由题意知，区域N的面积为π，记区域 M的面积为SM, 则SM-6400 10000 所以SM=3.14×0.64≈2.0. (1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中 (2)①当中点在平行线上时，y=0,当针的一个端 间被挖空的球体的表面积； 点在平行线上时，y=sinx, (2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的 细针与平行直线有公共，点，y与x满足的不等关 所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能 系式为0≤y≤sinx(x∈[0，π)， 构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成 ②试验条件对应的点集{(x,y)|0≤x<π，0≤ 直角三角形即可获得“月圆”卡片.甲、乙两人 y≤3}表示的区域面积为3π， 每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所 由(1)可知，事件“针与平行直线有公共点”对应 获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率； 的，点集{(x,y)|0≤x<π，0≤y≤sinx}表示的区域 (3)若点P为(1)中球面上的任一点，设 面积为2， ∠PAB=01,∠PAD=02,二面角B-AP-D的 所以针与平行直线有公共点的概率为3 平面角为p,求证：tan01·tan02·cosp为 ≈ 由题意得，3 ,所以π心 2n 定值 3m 解析(1)设红豆球心为O,半径为R, 思维过程 (1)先求出fm(A),然后根据P(A)= 则四棱锥E-ABCD的高OE -() 区域M的面积 区域V的面积，计算面积 √2 2 245 重难点手册高中数学必修第二册RJA 入面体的体积为2X召X1X号8X专×3 记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M, 4 M=A1B2UA2B1,且A1B2与A2B1互斥， XR, 根据概率的加法公式和事件的独立性定义， 解得尽-9S,=R 得P(M)=P(A1B2UA2B1) 3π =P(A1B2)+P(A2B1) (2)在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三 =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) 个不同的顶点， 该试验的样本空间2={(A,B,C),(A,B,D), -号×+×号-始 (A,B,E),(A,B,F),(A,C,D),(A,C,E),(A,C, 因此甲、乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆” F),(A,D,E),(A,D,F),(A,E,F),(B,C,D), (B,C,E),(B,C,F),(B,D,E),(B,D,F),(B,E, 的能率为岩 F),(C,D,E),(C,D,F),(C,E,F),(D,E,F)},共 (3)(分别作出角日1,02，P,结合勾股定理和余弦定理即可 有20个样本，点，所以n(2)=20, 求解)过点P作PM⊥AP交AB(或其延长线)于 每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型. 点M, 设事件A1=甲获得“花好”卡片，事件A2=乙获 过，点P作PN⊥AP交AD(或其延长线)于点N, 得“花好”卡片， 则∠PAM=∠PAB=O1,∠PAN=∠PAD= A1=A2={(A,B,E),(A,B,F),(A,D,E),(A, 02,∠MPN为二面角B-AP-D的平面角p. D,F),(B,C,E),(B,C,F),(C,D,E),(C,D,F)}, 在△MAN中，MN2=AM2+AN2, ① 所以n(A1)=n(A2)=8, 在△MPN中，MN2=PM2+PN-2PM· 从而PA)=PA,)=8- PNcos ② 20-51 由①②得AMP+AN2=PM+PN2-2PM· 设事件B1=甲获得“月圆”卡片，事件B2=乙获 PNcos 得“月圆”卡片， 从而有2PM·PNcos o=（PM2-AM2)+ 任取三个顶，点构成三角形，除等边三角形外，其(PN2-AN2)=-2AP2, 余全部为直角三角形， 所以PM.PN 所以n(B1)=n(B2)=20-8=12, AP`AP·C0sp=-1, 从而P(B1)=P(B)=205 12_3 即tan01·tan02·cosp=-1, 所以tan01·tan02·cosp为定值一l. 246