专题10 函数应用问题-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

【高考地位】 应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键. 【方法点评】 类型 解函数应用题的一般步骤 使用情景：函数的实际应用问题 解题模板：第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理 性. 例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品 千件 并全部销售完，每千件的销售收入为 万元，且 . ⑴ 写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； ⑵ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入 年总成本）. 【变式演练1】如图所示，某镇有一块空地 ，其中 ， ， 。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中 都在边 上，且 ，挖出的泥土堆放在 地带上形成假山，剩下的 地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在 的周围安装防护网. （1）当 时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地 的面积是堆假山用地 的面积的 倍，试确定 的大小； （3）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？ 【来源】【全国校级联考】江苏省溧中、省扬中、镇江一中、江都中学、句容中学2017-2018学年高一下学期3月联考数学试题 【变式演练2】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为 ．计划修建的公路为 ，如图所示， 为 的两个端点，测得点 到 的距离分别为5千米和40千米，点 到 的距离分别为20千米和2．5千米，以 所在直线分别为 轴，建立平面直角坐标系 ．假设曲线 符合函数 （其中 为常数）模型． [来源:Zxxk.Com] （1）求 的值； （2）设公路 与曲线 相切于 点， 的横坐标为 ． ①请写出公路 长度的函数解析式 ，并写出其定义域； ②当 为何值时，公路 的长度最短？求出最短长度． 【变式演练3】将 名学生分成 两组参加城市绿化活动，其中 组布置 盆盆景， 组种植 棵树苗.根据历年统计，每名学生每小时能够布置 盆盆景或者种植 棵树苗.设布置盆景的学生有 人，布置完盆景所需要的时间为 ，其余学生种植树苗所需要的时间为 （单位：小时，可不为整数）. ⑴写出 、 的解析式； ⑵比较 、 的大小，并写出这 名学生完成总任务的时间 的解析式； ⑶应怎样分配学生，才能使得完成总任务的时间最少？ 【来源】江苏省常州第一中学2017-2018学年高一年级第二次调研测试数学试题 【变式演练4】某企业共有20条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定量的次品.根据经验知道，每台机器产生的次品数 万件与每台机器的日产量 万件 之间满足关系： .已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元. （Ⅰ）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润 表示为 的函数； （Ⅱ）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？[来源:Zxxk.Com] 【变式演练5】有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放 （ 且 ）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 （克/升）随着时间 (分钟) 变化的函数关系式近似为 ，其中 .根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升）时，它才能起到有效去污的作用. （1）若投放 个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4 (克/升），求 的值； （2）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ 【来源】【全国百强校】山东省济南市历城第二中学2017-2018学年高一上学期第三次调研数学试题 【高考再现】 1. 【2014•北京】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），