2018-2019新指导数学同步苏教版选修4-2（课件+优选习题）：特征值与特征向量 (共2份打包)

一、基础达标 1.投影变换矩阵的所有特征值组成的集合为________. 答案　{0，1} 2.已知向量的一个特征向量，则m＝________. 是矩阵 答案　0 3.已知矩阵P的特征多项式为f(λ)＝，则P是________. 答案　 4.若对于矩阵Q＝＝________.，则Q50 答案　 5.若x＝，求函数f(x)＝x2－2x－3的值域. 解　x＝cos 2θ∈[－1，1]，故f(x)∈[－4，0]. 6.求出下列矩阵的特征值及特征向量. (1)A＝. ；(2)B＝ 解　(1)矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－5)·(λ＋1)，令f(λ)＝0，得到A的特佂值为－1，5. 将－1代入二元一次方程组(*) 解得x＝0，y可以为任何非零实数，不妨记y＝m，m∈R，m≠0.于是，矩阵A的属于特征值－1的特征向量为. 再将5代入方程组(*)，解得y＝0，x可以为任何非零实数，同上，可得矩阵A的属于特征值5的特征向量为. (2)矩阵B的特征多项式f(λ)＝.再将2代入方程组(*)，解得或(*)解得－3x＋2y＝0，若取x＝－2k，则y＝－3k，若x＝2k，则y＝3k(k∈R，k≠0)，因此，矩阵B的属于特征值1的特征向量为＝(λ－1)·(λ－2)，令f(λ)＝0，得到B的特征值为1，2.将1代入二元一次方程组 －x＋y＝0，同上得，矩阵B的属于特征值2的特征向量为. 或 7.已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2. 解　因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1，设A＝＝E， ，则 即. ∴A＝，解得＝ 于是，矩阵A的特征多项式f(λ)＝. .再将4代入方程组(*)，解得2x－3y＝0，同上得，矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为α2＝(*)解得x＋y＝0，若取x＝k，则y＝－k(k∈R，k≠0)，因此，矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为α1＝＝(λ＋1)·(λ－4)，令f(λ)＝0，解得A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.将－1代入二元一次方程组 二、能力提升 8.已知特征向量，分别经过矩阵A，B的作用，两个特征值分别为－3，1，这时的特征向量分别在第________，________象限. 答案　Ⅱ　Ⅳ 9.已知投影变换矩阵M＝＝________.，则M100 答案　 10.已知矩阵A的逆矩阵A－1＝. (1)求矩阵A； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 解　(1)因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝. (2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)， 令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3， 所以ξ1＝是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝ 11.给定矩阵M＝. 及向量a＝ (1)求矩阵M的特征值及特征向量； (2)计算M3a. 解　(1)矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝λ2－5λ－24＝(λ－8)(λ＋3)， 令f(λ)＝0，得M的特征值为8或－3， 将8代入方程 可得属于特征值8的一个特征向量α＝； 将－3代入方程 可得属于特征值－3的一个特征向量β＝. (2)设mα＋nβ＝a，则. 解得 ∴， －3＝ M3α＝1×83. ＝－3×(－3)3 12.已知矩阵A＝.求矩阵A，并写出A的逆矩阵.，属于特征值1的一个特征向量为α2＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝ 解　由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，即c＋d＝6. ＝6 ，得 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝， 得，即3c－2d＝－2， ＝ 联立解得. ，A逆矩阵是A－1＝即A＝ 三、探究与创新 13.已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换，将点(－1，2)变换成(－2，4). (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系； (3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程. 解　(1)设M＝. 联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝，故＝ ，故＝＝8 ，则 (2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2，设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，解得2x＋y＝0. ＝2，则Me2＝ (3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，则y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.x′＋y′，y＝－x′－，即x＝＝ $$预 习 导 学 课 堂 讲 义 当 堂 检 测 2.5　特征