考点09 函数与方程-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 【命题规律】 函数与方程是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会出现与零点有关的问题. 【典型高考试题变式】 （一）判断零点所在的区间 例1.【2014北京卷】已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【名师点睛】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断． 【变式1】【改变例题中的函数式】函数的零点位于下列哪个区间（ ） A． B． C． D． [来源:学*科*网] 【变式2】【改变例题中的结论】已知函数 的零点的区间是 ，则 的值为__________. （二）判断函数零点的个数 例2.【2014福建卷】函数 的零点个数是__________. 【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【变式1】【改变例题中的函数式】函数则方程的根的个数是 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 【变式2】【改变例题的结论】函数 的零点之和为__________.[来源:学科网ZXXK] （三）函数的零点的运用 例3.【2018年理新课标I卷】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( ) A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.[来源:Zxxk.Com] 【变式1】【改编例题中的函数式，减少一个字母】已知函数 ,若关于 的方程 有两个不同的根，则 的取值范围是________________. 【变式2】【改编例题中的函数式，减少一个字母】已知函数 ,其中 ，若关于 的方程 恒有三个不同的根，则 的取值范围是________________. 【数学思想】 ①数形结合思想:借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等． ②分类讨论思想:画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象． ③转化与化归思想. 【温馨提示】 ①函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点． ②连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件． ③精确度不是近似值． 【典例试题演练】 1.【2019届陕西渭南市检测】函数 的零点所在的大致区间是 （ ） A. B. C. D. 2.【湖北省襄阳市2018届高三1月调研统一测】已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.【山东省济南市历城二中2019届11月月考】已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,1]上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根,则________ 4.【吉林长春市2019届质监（一）】已知函数与，则函数 在区间上所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 5.【湖北省重点高中联考协作体2019届上学期期中】函数，若不相等的实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． [来源:学*科*网] 6.四川省棠湖中学2019届第二次月考】已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（ ） A． 2020