任务强化练12 正弦定理、余弦定理的简单应用(强化练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练12正弦定理、余弦定理的简单应用 【基础保分练】 7.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别 L.(2022·江苏南京模拟)在△ABC中，角A,B, 为a,b,c,若a=2w2,b=2,则角B可以 C所对的边分别为a,b,c,若ccos B=a,则这 是() 个三角形的形状为() A.15° B.30° C.45 D.75 A.直角三角形 8.(2023·重庆模拟)旅游区的玻璃栈道、玻璃 B.等腰三角形 桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险 C.锐角三角形 刺激的体验备受追捧.某景区顺应趋势，为扩 D.等腰或直角三角形 大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰 2.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若 间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的 ∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A,C两点之间 高度都是300m,从点B测得点M的仰角 的距离为( ∠ABM=平，点N的仰角∠CBN=吾以及 A.√6km B.、2km C.√3km D.2 km cos∠MBN-名，则两座山峰之间的距离 3.在△ABC中，已知∠A=60°，2a-2c=b,那么 MN=( =( a A是 B多 c话 b 4.在△ABC中，C=60°，a+2b=8,sinA= 6sinB,则c=( A.300m B.300、2m A.35 B.w31 C.6 D.5 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 C.600m D.600√/2m 9.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里 a,bc,若A=哥h=4,△ABC的面积为33， 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航 则sinB=( 行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 2得 B零 另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度 是每小时 海里， c D.313 10.若a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边. 13 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, 已知a2+c=+2,则cosA= bca=2/6,cos A--1,sin B-2sin C. 1L.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是 则b=( abc,且6=3a-c=2,A=,则△ABC A.1 B.2 C.3 D.4 的面积为 -23 12.台风中心从A地以每小时20km的速度向东 17.在△ABC中，若sinC=(w3cosA十sinA)· 北方向移动，离台风中心30km内的地区为危 cosB,则( 险区，城市B在A的正东40km处，B城市处 于危险区内的持续时间为 h A.B- 【能力提分练】 B.26=a+c 13.(2023·海南海口模拟)在△ABC中，内角 C.△ABC是直角三角形 A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2c,若 D.a2=b+c2或2B=A+C 3sinC=2sinB,则cosA的值为( ) 18.(2023·辽宁丹东模拟)△ABC的内角A,B,C A号 的对边分别为a,b,c,那么当a= B c-3 D.- 时， 满足条件“b=2,A=30”的△ABC有两个 14.(2023·山东聊城模拟)已知△ABC中，角 (仅写出一个a的具体数值即可). A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,C 19.(2023·山东日照模拟)在△ABC中，角A, 45°，accos B=b2+bccos A,则△ABC的面 B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,且 积为( sinA,sinB,sinC成等比数列，则cosA= A司 B.1 C.2 D.4 20.如图，现欲测量某博物馆正门柱楼顶部一点 15.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)，若 为a,b,c,若b=23,c=3,A十3C=π，则下 从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别 列结论正确的是( 为30°，45°，且∠ABO=60°，AB=60v2米， A.cos C=3 则OP= 米 3 B.sin B=2 3 C.a=3 D.S△Mx=2 16.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王 之涣的《登鹤雀楼》，鹤雀楼位于今山西永济 市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传 说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复 建的鹊雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不 计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿 直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角 为45°，若BC=2AC,则楼高AB约为() 302>D E A.65米B.74米 C.83米 D.92米 -24m对=急部-忠部-血等二父- G0660°·c0820 5_153 4 sin40° 05600.s20=2s中20c0s20=4sim20°=4cos70°.周此] 12.1解析：设1h时，B市给好处于危险区，则由余弦定理得 ×c0s20 (20t)2+40一2×201×40×c0s45°=30，化简，得4 0=70(只要特合0=k·360°±70°，k∈Z即可). 82+7=0,4十=2W2,44=: 任务强化练12正弦定理、余弦定理的简单应用 从而|t-|=/(4十)一4ha=1(h) 1.A解析：c0sB=a,由余孩定理可得c.心+心=a, 13.D解析：3sinC=2sinB,由正弦定理可得3c=2b,.b= 2ac 即a2十2一=2a2,2=a2十B,被三角形的形状为直角 三角形. c又a=2isA+4_（爱)'+-2 3 2bc 2.A解析：如图，在△ABC中，由已知可得 LACB-45nGC- 2 22×号-5m. 14.B解析：已知accos B=+bccos A,由余弦定理得ae· d+-龙-+k.公+心，解得a=2B,故6=反， 3.B解析：报据余孩定理，得co560°= 2bc 2+4=合，化简得3d- =1,,△ABC的面积 2(2a-2e)c s=壹snC=}×2x×号 10ac+72=0,则(3a-7c)(a-c)=0. 为1. 又2a-2=>0,有0>，∴后=号 15.AD解析：“A+3C=,·B=2C.报据正孩定理nB 4.B解析：，sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b.又a十2b= 8,.a=6,b=1.C=60,∴2=d2+f-2 abos C=62+12 c得2/3mC-3X2 esin CoosC又smC≠0，eosC= 2X6X1×空=31，解得c=V. 号故A正确为知血C9血B=血20-2如CmC 5.A解析：S=esinA一3c=33∴c=3.由余孩定理可得 2,故B错误由余孩定理2=d+行-2asC化简得到 a2=8十2-2 bccos A=13,得a=13.又由正孩定理可得 d-4a十3=0，解得a=3或a-l若a=3,则A-C-牙，故B mAnB∴sinB=sim423型 b 13 吾，不满足题意，故a=1,C错误.S%c=之admC-受X1X 6.D解析：：sinB=2sinC,b=2c.在△ABC中，由余弦定理 可得sA十正。-青→纪长2丝=一子解得 2×9-2,故D正确 2bc 4 4c 16.B解析：设AC的高度为x,则由已知可得AB=3x,BC 2=4.c>0,.c=2,故b=4. BE=2x,BD= AB 7.AB解析：在△ABC中，由余孩定理，得osB=十一位 ianZADB-33xDE-BD-BE-3/3x- Zac 装局--渠+>2腰-9收 2x=79,解得x= 79≈24,7，换高AB≈3×247= 3w3-2 2×2w2c42c4c 74.1≈74（米）. 当-停，中=6时，等号成立Bc[停小中 17.D解析：'C=r一(A十B),',simC=in(A十B),代入sinC Ac (3cos A+sin A)cos B,sin(A+B)3c0s A+sin A)oos B, 0°<B30°，.A,B正确，C,D错误 化商可得，cos Asin B=√3 cos Acos B.① 8.C解析：由题意可知AB=AM=CN=300,BM= ,0A<x,分两种情况讨论 √AB+AM=300√2，BW=2CN=600.由余弦定理，得 (1)当cosA≠0时，①化为sinB=√3cosB,则tanB=√3. MN=√/BM+BN-2 BMX BNeos,∠MBN=6O0. 9.10解析：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75, 0CB<,六B=吾，则A+C=开-B=经=2B 3 ∴.∠CAD=∠CDA=15,从而CD= CA=10. 15 (2)当cosA=0时，A=2,则d=片+ 在Rt△ABC中，得AB=5,于是这艘船D C 综上可得，a=?+2或2B=A+C 181.5(1,2》内任一数)解折：由正孩定理得品A一B 为 的速度是品-10（海卫/时）. 10.责解析：d+号c=8+d,且d2=甘+2-26cosA, ∴.sin Bn-若满足条件的△ABC有两个，则是< ∴cosA=i4 1且.a<b=2,.1<a<2. 19.-2 解析：由sinA,sinB,sinC成等比数列，得sinB= 1.15,5解析：由余孩定理得d=8+2-2 becosA,.b=3, sinA·sinC,∴.=ac.又a=2c,abtc=2tV2t1, 4-c=2,A=5(c+2)=3+2-2X3c×(-2）,解得 osA=+-d-D+-2=-区 2w2 4 c=5,则△ABC的面积为S=是6 esin A=号×3×5X 20.30√2解析：设簇杆的高度为h米，由题意，知∠OAP=30°， 59 ∠OBP-45.在R△AOP中，0A--5A在 A∈(0，π)， Rt△BOP中，OB■h,在△ABO中，由余弦定理，得AO= 六mA=1m=√()=， BA+OB-2BA·OBcos60°，代入数据计算得到h=302, 旗杆的高度OP为30√2米. :三角形的外接圆的直径为2R一A 5=4, 任务强化练13解三角形 4 L.(1)证明：设BC边上的高为AD,则AD=bsin C, ∴△ABC的面积为S=2 esinA=号×2 Rsin BX2 RsinCX ..a=bsin C, 由正弦定理得sinA=sin Bsin C 2 (2)解：由余弦定理得d=+2-2 bccos45°=B+d2-√2c 5.解：(1)若选①，由正弦定理可得/2sinC=sin Asin C十sin Coos A. aa6-7aad-号 '0<Cπ，∴sinC≠0， 号-8+-厚k博形+-号， 2=mA+osA=2sim(A+平)→sin(A+开）-1， 而0<A<,于是A-平 若选②，由题意，得sin(x一A)=√2一cosA→inA十cosA 2.解：(1)由正弦定理得√3 sin Asin B一sin Bcos A=sinB. 又sinB≠0，∴√3sinA-cosA=1, i,则2im(A+）=2→sim(A+）=1, 号血A-名A-名，即m(A-吾）- 而0<A<,于是A=平 若选③，由题意，得，V2sinA=2 sin Acos A. :A∈(0，∴A-晋∈(-吾，） 0<A<π， ∴A-吾=吾，即A=苓 ∴血A0,则cmA=号A=弄 (2)由余弦定理得a2■+2-2 bccos A,即4-+c2-bc .4=+c2-bc≥2bx-bc=bc,即b≤4， （2由题意，知S-号cnA=号c×号-6=c=4w2, 2 当且仅当b=c时，等号成立， s=kA受×4x9-5, mA装报清-9=m. 6.解：(I)由正弦定理有V3 sin Asin C=-sin Ccos A-十sinC, .△ABC面积的最大值为3】 3.解：(1)，'(sinB-sinC)2=sinA-sin Bsin C, 5sinA-cosA=1,2sim(A-晋）=1 .'.sin B+sin'C-sinAsin Bsin C, “由正弦定理得子+2一d=bc, 又0<AK,A=季 由余弦定理得A十+-条-是 2bc (2)如图，由于a=7b,则inB=血A A∈(0,0，A=子 3 27 >=A>B=Be(O,受) (②)由三角形面积公式得5c=之h=×10ya= 1 -a 7 …cosB=5 71 3 4 59。-=。 4, 由余弦定理得2=25+2-5c, 设A8=3则最-需食-号0-= 将a=牙e代入上式得e+16c一80=0， 又市-专A恋BD=t=6 解得c=4或-20（舍去）， 又CD=√a+t-2 abcos∠DBC=√136， .c■4. ,in∠ADC-asim∠DBC=39 4.解：(1油cos(B+O=,可得Bos C-in Bsin C-子 √/13b 26” 又由os(B-O=是，可得BosC+s如BsnC-, ?解：1)油已知得名-1+ tan B 联立方程组，解得如B如C-子，BeosC- 在△MBC中，由正孩定理，得需后-1+田合 tan B' 化简得2 sin Ccos A=sin(A+B). .tan Btan C=sin Bsin C、l cos Acos C 2 :A十B=r-C,∴sin(A+B)=sinC, (2).c0s(B+C)=c0s(-A)=-c0sA= osA-合 cosA=-子 又A∈0，mA=5 60