A5-第九届全国青年数学教师优秀课课件与教案--（湖南省慈利县第一中学朱梦姣）基本不等式 (共2份打包)

基本不等式（一） 湖南省慈利县第一中学 朱梦姣 * 数学史 三国时期吴国赵爽，绘制此图最早对勾股定理进行了证明 * 引入 * A B C D E(FGH) a b A D B C E F G H b a 思考：你能给出对任意实数a,b，不等式 都成立的证明吗？ 证明重要不等式 重要不等式： 证明：（作差法） 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 探究基本不等式 ①拿两张大小不同的正方形纸片，分别沿对角 线对折，得到两个等腰直角三角形纸片。 ②若正方形纸片的面积分别是a,b,两个三角形 纸片的面积则是 ，腰分别是 ③怎样改造这两个三角形纸片可以构成一个矩形，并且使该矩形的长和宽分别为 ？ ④对比这两个三角形的面积之和与矩形的面积， 你有什么发现？ ？ ？ 折纸游戏 * ① ② ③ ≥ 特别地，若a>0，b>0，则 ≥ 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 定义基本不等式 文字语言： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 从不同角度认识基本不等式 问题1：基本不等式 从数列的 角度，还可以怎么表述？ 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 * 从不同角度认识基本不等式 几何意义： A B C E a b O D * 证明：要证 只要证 ① 要证②，只要证 ② 要证③，只要证 ③ 显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, ④中的等号成立. 分析法 执果索因 证明基本不等式 ④ 思考：你还能给出基本不等式 的其他证明吗？ * 问题3：你能否借助已证的重要不等式 ，分析基本不等式 的成立性呢？ 证明基本不等式 * 解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100， 篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=y A B D C 例：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 运用基本不等式求最值 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2 A B D C 运用基本不等式求最值 例：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 知识方法小结 数学建模 数形结合 运用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等 布置作业 课堂作业：教材第100页习题A组第1,2题 课后作业：课后在网上查找基本不等式的其他代数几何证明方法，整理并相互交流。 思考：由基本不等式 出发， 你还能推导出哪些公式？ 课后思考题 谢谢大家,敬请指导! * $$《基本不等式》设计亮点 分析这堂课主要有以下几个亮点： 1、 注重思想方法的渗透 教学中以基本不等式的获得与证明及简单应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线，整个教学过程中，明暗线交相呼应，贯穿始终。对重要不等式和基本不等式的探究和证明，都注重从数和形两个角度进行阐释；甚至对后面的例题，也是先引导学生用代数方法解决问题，再用几何画板中的图形变化验证代数结论，增强学生从数、形两个角度思考问题的意识和能力，体会数形结合思想方法的优势。 2、 注重知识的生成 本节课通过抽象出数学家大会会标中的图形面积的不等关系，得到重要不等式；通过折纸游戏提炼出基本不等式，又从几何代数多个角度认识和证明基本不等式，加深了学生对基本不等式本质的理解。 3、 注重学生的实质性参与，设计的活动形式多样化 通过动画，让会标在转动中变化，引导学生分析变化始末大正方形的面积与四个直角三角形的面积和的关系，得出重要不等式，动画形式直观形象，学生在欣赏数学美的同时，又获得数学知识，所以情感上会很乐意参与问题的探究。接着，设计折纸游戏发现基本不等式，形式新颖，充满乐趣。后面的例题探究，鼓励学生从多个角度寻找解决问题的思路和方法，并让他们上来演示自己的分析过程，既锻炼了学生的胆量和表达能力，也让他们获得成就感和满足感。最后，课堂小结环节，让学生自己说在知识、思想方法上的收获，有学生回顾了重要不等式和基本不等式的探究过程及运用基本不等式求最值的条件，有学生说出了分析法的特点。可以看出，学生在课堂