衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题五 函数与方程问题求解举例

( 衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习 ) 专题五 函数与方程问题求解举例 【方法综述】 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决． 方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例． 【要点回顾】 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不成立． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根． 【典型例题】 1．求函数的零点 例1.求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点． 解　令f(x)＝x3－3x＋2＝0， ∴(x＋2)(x－1)2＝0. ∴x＝－2或x＝1， ∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1. 评注　求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2.已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数． 解　设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标． 在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝