函数模型及其运用-高三一轮复习讲义

函数模型及其运用 【考纲解读】 1、理解所学的函数的定义，掌握所学函数的图像和性质； 2、能够熟练地运用所学的函数模型解答实际应用问题。 【知识精讲】 一、 初中学过的函数模型： 函数模买 解析式 定义域 值域 函数的基本性质 一次函数f(x)=kx+b R R ①k>0时，是R上的单调递增函数： 模型 (k,b为常数， 2k<0时，是R上的单调递减函数： 且k≠0) 正比例 f(x)=kx R R ①k>0时，是R上的单调递增函数： 函数摸 (k为常数，且 ②k<0时，是R上的单调递减函数： 型 k≠0) ③正比例函数是奇函数。 反比例函 f(x)= (-00,0》 (-00,0) ①k>0时，图像在一，三象限， 数模型 k,b为常数， U(0, U(0,+0) 是定义域上的单调递减函数： k≠0) +00) ②k<0时，图像在二，四象限， 是定义域上的单调递增函数， ③特别地，当b=0时，反比例 函数是奇函数。 元二次f(x)=ax2+bx+c R ①当a>0时， ①当a>0时，在(- ,+0) 2a 函数模型 (a,b,c是常 4ac-b2 上单调递增，在(-00， Aa 2a 数，且a≠0) 0):②当a 单调递减；函数有最小值 4ac-b2 Aa <0时，(-0， ②当a<0时，在(-b ,+0) Aac-b2 1 上单调递减，在(-0， Aa b)上 2 单调递增，函数有最大值 Aac-b2 4a 二、高中学过的函数模型： 1、指数函数，对数函数和幂函数的图像与性质： 函数模型 函数解析式 函数的图像 函数的性质 指数函数 f(x)-a ①函数的定义域为R,值域为(0，+oo): 模型 a>0,且 ②函数的图像必过点(0,1)，当a> a≠1) 0 时，函数是R上的增函数：当0<a<】 时，函数是R上的减函数：③增长速度 越来越快：④随x的增大，图像与y 轴接近平行。 对数函数 f(x)=logx ①函数的定义域为(0，+oo),值域为R: 模型 (a>0,且 ②函数的图像必过点(1,0)，当a>1 a≠1) 0 X 时，函数是R上的增函数；当0<a< 时，函数是R上的减函数：③增长速度 越米越慢：④随x的增大，图像与x轴 接近平行。 幂函数 f(x)=x ①函数的定义域由a的取值确定，值域 模型 (a ER) 由a的取值确定；②当a>0时。函数 的图像必过点(0,0)和(1,1)，当 a<0时，函数图像必过点(1,1)；③ 增长速度随a值的变化不同：④图像的 变化随a值的变化不同。 2、指数函数，对数函数和幂函数模型的增长速度： (1)对函数y=a(a>1),y=x”(n>0)在区间(0，+∞)上无论n比a大多少，在一定范 围内有a<x”,但函数y=a的增长速度大于函数y=x“的增长速度，因此存在x。∈(0，+ o),当x>x时，就有a>x； (2)对于函数y=l0g。x(a>1),y=xn>0)在(0，+)上随着x的增大，函数y=l0g。x 的增长速度越来越慢，尽管在x的一定变化范围内有l0g。x>x”，但总存在x,∈(0，+)， 当x>x,时，就有l0g。X<x”: (3)对函数y=l0g,xa>1),y=a(a>1),y=x">0)在(0，+)上总存在x∈(0，+ ∞)，当x>x,时，就有l0g,x<x"<a: (4)对函数y=l0g,x(0<a<1),y=a(0<a<1),y=x"<0)在(0，+∞)上总存在x∈ (0,+o),当x>x时，就有l0g,X<x"<a。 三、函数模型的应用： 1、函数模型应用的常见类型： 函数模型应用常见的类型有：①一次函数模型的应用；②正比例函数模型的应用：③反比例 函数模型的应用；④一元二次函数模型的应用：⑤指数函数模型的应用；⑥对数函数模型的 应用：⑦幂函数模型的应用。 2、解答函数模型应用问题的基本方法： 求解函数模型应用问题的基本方法是：①认真读题，弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系，选择适合的函数模型：②建立解答问题合适的函数模型：③运用选定的函数模型相关 知识解答问题；④把数学问题还原为实际问题得出结果。 【探导考点】 考点1函数模型的实际应用：热点①运用函数图像反映变化过程：热点②已知函数模型的 实际应用问题；热点③构造函数模型的实际应用问题： 考点2函数模型综合的实际应用：热点①一元一次函数与一元二次函数的综合模型的综合 应用：热点②分段函数模型的实际应用问题：热点③指数函数与对数函数模型的综合应用。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快 速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是() ◆ y距学校的距离 y 距学校的距离 y距学校的距离 y距学校的距离 0 x时间 0