函数模型及其运用-高三一轮复习讲义

 函数模型及其运用

【考纲解读】

1、理解所学的函数的定义，掌握所学函数的图像和性质；

2、能够熟练地运用所学的函数模型解答实际应用问题。

【知识精讲】

一、初中学过的函数模型：

 函数模型   解析式       定义域       值域          函数的基本性质

一次函数 f(x)=kx+b       R           R         ①k＞0时，是R上的单调递增函数；

模型    (k，b为常数，                         ②k＜0时，是R上的单调递减函数；

且k0)                              

 正比例   f(x)=kx          R           R         ①k＞0时，是R上的单调递增函数；

 函数摸   (k为常数，且                           ②k＜0时，是R上的单调递减函数；

 型       k0)                                  ③正比例函数是奇函数。

反比例函 f(x)= +b    （- ，0） （- ，0）    ①k＞0时，图像在一，三象限，

数模型  (k，b为常数， （0，   （0，+） 是定义域上的单调递减函数；

k0)          +）                   ②k＜0时，图像在二，四象限，

                                                  是定义 域上的单调递增函数，

 ③特别地，当b=0时，反比例

                                  函数是奇函数。

 一元二次 f(x)=a+bx+c   R        ①当a＞0时，①当a＞0时，在（- ，+）

函数模型   （a，b，c是常            ［，  上单调递增，在（- ，）

数，且a0）            +）；②当a  单调递减；函数有最小值；

＜0时，（-，②当a＜0时，在（- ，+）

］。  上单调递减，在（- ，）上

单调递增，函数有最大值。

二、高中学过的函数模型：

1、指数函数，对数函数和幂函数的图像与性质：

 函数模型    函数解析式    函数的图像                 函数的性质

 指数函数    f(x)=         y               ①函数的定义域为R，值域为（0，+）；

 模型        (a＞0，且       1                ②函数的图像必过点（0，1），当a＞1

 a1）         0      x         时，函数是R上的增函数；当0＜a＜1

时，函数是R上的减函数；③增长速度 越来越快；④随|x|的增大，图像与y轴接近平行。

 对数函数   f(x)= x     y                ①函数的定义域为（0，+），值域为R；

 模型       (a＞0，且                        ②函数的图像必过点（1，0），当a＞1

 a1）         0    1     x      时，函数是R上的增函数；当0＜a＜1

                                  时，函数是R上的减函数；③增长速度

                                  越来越慢；④随x的增大，图像与x轴

                                  接近平行。

 幂函数    f(x)=           y               ①函数的定义域由a的取值确定，值域

 模型     （a R）                          由a的取值确定；②当a＞0时。函数

                             0     x         的图像必过点（0，0）和（1，1），当

                                             a＜0时，函数图像必过点（1，1）；③增长速度随a值的变化不同；④图像的

                                             变化随a值的变化不同。

2、指数函数，对数函数和幂函数模型的增长速度：

（1）对函数y=(a＞1)，y= (n＞0)在区间（0，+∞）上无论n比a大多少，在一定范围内有<，但函数y=的增长速度大于函数y=的增长速度，因此存在（0，+∞），当x＞时，就有>；

（2）对于函数y=x(a＞1)，y=(n＞0)在（0，+∞）上随着x的增大，函数y=x的增长速度越来越慢，尽管在x的一定变化范围内有x>，但总存在（0，+∞），当x＞时，就有x<；

（3）对函数y=x(a＞1)，y=(a＞1)，y=(n＞0)在（0，+∞）上总存在（0，+∞），当x＞时，就有x<<；

（4）对函数y=x(0＜a＜1)，y=(0＜a＜1)，y=(n＜0)在（0，+∞）上总存在（0，+∞），当x＞时，就有x<<。

三、函数模型的应用：

1、函数模型应用的常见类型：

函数模型应用常见的类型有：①一次函数模型的应用；②正比例函数模型的应用；③反比例函数模型的应用；④一元二次函数模型的应用；⑤指数函数模型的应用；⑥对数函数模型的应用；⑦幂函数模型的应用。

2、解答函数模型应用问题的基本方法：

求解函数模型应用问题的基本方法是：①认真读题，弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，选择适合的函数模型；②建立解答问题合适的函数模型；③运用选定的函数模型相关知识解答问题；④把数学问题还原为实际问题得出结果。

【探导考点】    

 考点1函数模型的实际应用：热点①运用函数图像反映变化过程；热点②已知函数模型的实际应用问题；热点③ 构造函数模型的实际应用问题；

 考点2函数模型综合的实际应用：热点①一元一次函数与一元二次函数的综合模型的综合应用；热点②分段函数模型的实际应用问题；热点③ 指数函数与对数函数模型的综合应用。

【典例解析】

【典例1】解答下列问题：

1、小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）

y 距学校的距离     y  距学校的距离    y距学校的距离       y距学校的距离

 

 

0       x 时间     0      x 时间      0      x 时间       0      x 时间

A                   B                   C                  D

2、物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）

Q------|         Q------|          Q------|           Q------|

         |                   |                   |                     |

         |                   |                   |                     |

  0      T  t        0      T  t        0       T  t         0        T t

      A                    B                 C                     D

3、某蔬菜基地种植西红柿，由原来市场行情可知，从一月一日起300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如图甲所示，西红柿的种植成本与上市时间的关系如图乙所示。

（1）写出表示市场售价与时间的函数解析式；（2）写出表示种植成本与时间的函数解析式；

（3）若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿收益最大？

       y                            200  y

      300--------------                  150---------------------

      200                           100 ------------