函数与方程-2024高三一轮复习讲义

 函数与方程

【考纲解读】

1、理解函数零点，二分法和精确度的定义，了解方程f(x)=0的根，函数y=f(x）的图像与x轴的交点的横坐标和函数y=f(x)的零点之间的等价关系；

2、掌握函数零点存在定理和判断函数零点个数（或函数零点所在区间）的基本方法，了解

二分法求解方程近似解的基本方法；能够运用函数零点解答相关的数学问题。

【知识精讲】

一、函数零点的概念：

1、函数零点的定义：对于函数y=f(x)，如果存在实数x使f(x)=0，则称实数x是函数y=f(x)的零点；

2、方程f(x)=0的根，函数y=f(x)图像与x轴的交点的横坐标和函数y=f(x)零点之间的关系：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)存在零点。

二、函数零点存在定理及运用：

1、函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b) <  0，那么函数y=f(x)在区间〔a,b〕内存在零点，即存在实数c〔a，b〕，使得f(c).=0，这个实数c就是方程f(x)=0的实数根。

2、判断函数零点个数的基本方法：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有实数根，则方程有几个实数根，函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理进行判断，具体运用定理时应该注意：1》函数y=f(x)在区间〔a，b〕上的图像是连续的曲线，2》f(a).f(b) < 0，3》结合函数的图像和性质得出函数y=f(x)零点的个数；③数形结合法：把问题转化为两个函数图像的交点的个数问题，两个函数图像有几个不同的交点，函数y=f(x)就有几个不同的零点。

3、判断函数零点所在区间的基本方法：

（1）函数零点所在区间的判断主要运用函数零点存在定理，其基本方法是：①判断函数的图像在闭区间上是否连续；②求出闭区间两个端点的函数值，看它们是否异号，如果异号，则该区间是函数零点所在区间；如果同号，则该区间不是函数零点所在区间；

（2）如果函数y=f(x)的图像是连续不间断的，则有：①当函数y=f(x)的图像通过零点（不是二重零点）时，函数值可能同号，也可能异号；②在相邻两个零点之间所有函数值保持相同的符号；③若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则函数y=f(x)至多有一个零点；

（3）如果函数y=f(x)在区间〔a，b〕上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间〔a，b〕上不一定有零点；

（4）如果函数y=f(x)在区间〔a，b〕上的图像是连续不断的一条曲线，且是单调函数，那么函数y=f(x)在区间〔a，b〕上至多有一个零点。

三、二分法求方程的近似解：

1、二分法的定义：对于在区间〔a，b〕上连续不断，且f(a).f(b) <  0的函数f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间二等分，使区间的两个端点的函数值越来越逼近零点，进而得到函数零点的方法，叫做二分法；

2、给出精确度，用二分法求函数y=f(x)零点近似值的基本方法：

给出精确度，用二分法求函数y=f(x)零点近似值的基本方法是：（1）确定函数y=f(x)零点

所在的区间（a，b）；（2）令c=；（3）求出f(c)的函数值，①若f(c)=0，则实数c就是函数f(x)的零点；②若f(c).f(a)  <,0，则零点在区间（a，c）；③若f(c).f(b)  <  0，则零点在区间（c，b）；（4）判断零点=（或）是否达到精确度（即  |a-c|    ＜）或（  |c-b|    ＜），从而得到零的近似值，否则重复（2）到（4）的步骤；

3、“精确度”与“精确到”的不同含义：

（1）精确度为0.1是指函数零点的近似值与零点差的绝对值小于0.1；

（2）精确到0.1是指得到函数的零点要近似到小数点后的一位。

四、函数零点的运用：

1、函数零点运用问题的类型：

函数零点运用问题的类型主要是：①已知函数有零点求参数的值或取值范围；②确定函数零点的个数或区间。

2、函数零点运用问题解答的基本方法：

（1）已知函数有零点，求参数的值或取值范围的基本方法是：①直接法；② 分离参数法；③数形结合法；

（2）直接法是指直接根据条件构建关于参数的方程（或不等式 ），通过解方程（或不等式）求出参数的值（或取值范围）；

（3）分离参数法是指先将参数分离，再把问题转化为求函数的最值问题加以解决；

（4）数形结合法是指先对解析式变形，在同一直角坐标系中画出问题中涉及函数的图像，然后数形结合求解；

（5）确定函数零点个数的基本方法是：①解方程法；②函数图像法；

（6）确定函数零点所在区间的基本方法是运用函数零点存在定理。

【探导考点】

考点1函数零点存在定理及运用：热点①判断函数零点所在的区间；热点②判断函数零点的个数；

考点2函数零点定义及运用：热点①已知函数有零点，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；热点②确定函数零点的个数（或所在的区间）；

考点3一元二次函数零点问题：热点①已知一元二次函数零点的区间，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；热点②确定函数零点的个数（或所在的区间）。

【典例解析】

【典例1】解答下列问题：

1、已知函数f(x)有零点，下列说法不正确的是（ ）

A f(0)=0                                 B方程f(x)=0有实根

C函数f(x)的图像与X轴有交点            D函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根

2、下列图像表示的函数中没有零点的是（ ）

  y                y                y                y

 

  0      x         0       x        0      x         0       x

     A                 B                 C                D

3、函数f(x)= |x|-1的零点的个数为（   ）

A      1          B         2        C         3       D         4

4、函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数为       ；

5、判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：

（1）f(x)=1- （x+3）；     （2）f(x)= -3；     （3）f(x)= 。

6、设函数f(x)=-3x-2，若g(x)=2-。

（1）求g(x)的解析式；

（2）画出函数g(x)的图像；

（3）求出函数g(x)的零点（精确到0.1）。

『思考问题1』

（1）【典例1】是与函数零点定义相关的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，同时注意方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系；

（2）方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系是：方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图像与X轴有交点函数y=f(x)有零点；

（3）判断函数是否有零点（或零点个数）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，则方程有几个解函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理，具体运用定理时应该注意：1＞函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续的曲线，2＞f(a).f(b)<0，3＞结合函数的图像和性质得出结果；③数形结合法：把问题转化为函数图像与X轴的交点问题（或两个函数图像的交点的问题）。

〔练习1〕解答下列问题：

1、函数f(x)=xcos在区间［0，4］上零点的个数为（ ）

A       4     B       5    C        6       D          7

2、已知函数f(x)=lnx- 的零点为，则所在的区间是（ ）

A     （0，1）   B     （1，2）     C      （2，3）      D       （3，4）

3、已知函数f(x)=2（m+1）+4mx+2m-1的一个零点为1，则函数f(x)的所有零点为   ；

4、设函数y=与y=的图像的交点为（，），若（n，n+1），nN，则所在的区间是        。

5、利用函数图像判断下列方程有没有根，如果有，有几个根？

（1）-+3x+5=0 ；   （2）2x（x-2）=-3；   （3）=4x-4； （4）5+2x=3+5。

6、已知函数f(x)=sin2x-2sinx。

（1）求函数f(x)的最大值；

（2）求函数f(x)的零点的集合。

【典例2】解答下列问题：

1、设函数f(x)=4sin(2x+1)-x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（    ）