衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题十 直线与圆、圆与圆，相互依存故事多

( 高一高二同步热点难点一网打尽 ) 专题十 直线与圆圆与圆，相互依存故事多 【方法综述】 直线与圆、圆与圆的位置关系问题，是考试命题的热点.高考要求，一是能熟练地解决圆的切线问题、弦长问题等，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．二是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.下面围绕圆的切线问题、弦长问题举例说明. 1.圆的切线问题 例1.已知点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，l是过点M的圆的切线，求直线l的方程． 解：设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则OM⊥MP. ∴kOM·kMP＝－1，即·＝－1. 整理，得x0x＋y0y＝x＋y. ∵x＋y＝r2， ∴切线l的方程为x0x＋y0y＝r2. 当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用． 结论1　过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 例2.求过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线l的方程． 解：设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则CM⊥MP. ∴kCM·kMP＝－1， 即·＝－1. 整理，得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)2＋(y0－b)2. ∵(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2， ∴切线l的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 当点M在直线x＝a和y＝b上时，可以验证上述方程同样适用． 结论2　过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 例3.求过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点M(x0，y0)的切线l的方程． 解：把圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0化为标准方程， 得2＋2＝(D2＋E2－4F)． 由结论2可知切线l的方程为(x＋)＋(y＋)＝(D2＋E2－4F)． 整理，得x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0. ∴切线l的方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0. 结论3　过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点M(x0，y0)的切线l的方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0. 2.圆的弦长问题 （1）若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝. （2）若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|