衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题七 辅助线，辅助面，证明平行巧转换

( 衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习 ) 专题七 辅助线，辅助面，证明平行巧转换 【方法综述】 空间几何平面化中所体现的核心素养是，以学习的线面平行为基础,将线面问题经过严密的逻辑推理,转化为线线平行的问题,从而实现了空间问题平面化的想法. 在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来实施转化、解决问题．下面举例说明添加辅助线（面）的妙用. 1．作辅助线来解题 例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D. 证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB. 因为OF∥B1C1且OF＝B1C1，BE∥B1C1且BE＝B1C1， 所以OF∥BE，且OF＝BE， 即四边形OFEB为平行四边形．所以EF∥BO. 又EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D， 所以EF∥平面BB1D1D. 点评：　将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线．而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一． 2．作辅助面来解题 例2.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中 点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是(　　) 解：选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN, 可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上. 因为 MN= 所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当P位于MN中点O时, A1P最小,此时A1O=所以 ≤|A1P| ≤所以线段A1P长度的取值范围是 点评：　使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面． 3．同时作辅助线与辅助面来解题 例3.如图，已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在这两个平面之间的线段，且AE＝EB，CG＝GD，AB与CD不平行，求证：EG∥平面α，EG∥平面β. 分析　有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面，通过面面之间的关系来解题．题目条件中出现了两个 中点，一般可直接取某线