衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题八 在转化中证明空间垂直关系

( 衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习 ) 专题八 在转化中证明空间垂直关系 【方法综述】 空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．在空间垂直关系的证明中极易出现的问题有：(1)证明线面垂直时,易忽视面内两条线为相交线这一条件.(2)面面垂直的判定定理中,直线在面内且垂直于另一平面易忽视.(3)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.下面举例说明在转化中证明空间垂直关系. 1．证明线线垂直 证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直． 例1.如图，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分别为A，B，求证：CD⊥AB. 证明　因为EA⊥α，CD⊂α，所以CD⊥EA. 又因为EB⊥β，CD⊂β，所以EB⊥CD. 又因为EA∩EB＝E，EA，EB⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE. 因为AB⊂平面ABE， 所以CD⊥AB. 评注　证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到转化与化归的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．其转化关系如下： 2．证明线面垂直 证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直． 例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM. 证明　因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM. 因为M是圆周上一点， 所以BM⊥AM. 又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.所以BM⊥AN. 又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，PM，MB⊂平面PMB，所以AN⊥平面PBM. 评注　本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化． 3．证明面面垂直 证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直． 例3.如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝