精做12 基本不等式-学易试题君之大题精做君2018-2019学年高二数学人教版（必修5）

1．设 ，求 EMBED Equation.DSMT4 的最大值． 2．已知 均为正实数，且 ，求证： ． 3．已知正数 满足 ，求 的最小值有如下解法： ∵ 且 ．∴ ． ∴ ． 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． 4．求函数 的最小值． 5．求解下列问题： （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，求函数 的最大值． 6．设 为正实数，且 ． （1）求 的最小值； （2）若，求的值． 7．某商品进货价每件50元，销售价格为每件 元，据市场调查，当销售价格 时，每天可售出 件，每天获得的利润为y元． （1）写出 关于 的函数表达式； （2）若要每天获得的利润最多，则售价应定为每件多少元？ 8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲广场，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一个花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（如图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2． （1）设总造价为S元，AD的边长为xm，试建立S关于x的函数关系式； （2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区? 9．（1）已知正数 满足 ，试求 ， 的范围； （2）已知 ，求证： ． 10．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的最大值． 11．某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，该服装的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足：3－x与t＋1成反比例．如果不搞促销活动，该服装的年销量是1万件．已知2019年生产该服装的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，将每件服装的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，当年生产的服装正好能销售完． （1）将2019年生产该服装的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数； （2）该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业生产该服装的利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 1 $$ 1．设 ，求 EMBED Equation.DSMT4 的最大值． 【答案】 ． 【解析】 ， ， 设 ，则 ， 于是有 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ． ∴当 时，函数取得最大值 ．学&科网 2．已知 均为正实数，且 ，求证： ． 【答案】证明见解析． 3．已知正数 满足 ，求 的最小值有如下解法： ∵ 且 ．∴ ． ∴ ． 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． 【答案】以上解法是错误的，正确解法见解析． 【解析】以上解法是错误的， 理由：∵ ，当且仅当 时取到等号， ，当且仅当 时取到等号，以上两个不等式不能同时取到等号， 因此 不成立， 正确解法： ． ， 即 ． 4．求函数 的最小值． 【答案】 ． 【名师点睛】（1）利用基本不等式求最值时，必修保证等号能取到才能求出最值，若题设条件中的限制条件或函数的定义域不能使等号成立，则要转换到另一种形式解答，如借助函数单调性等；（2）对于模型 ≥ ，当且仅当x＝ 时等号成立；（3）求函数y＝ (a＞0，b＞0)在区间(0，c]上的最值时，由函数图象易得：若c≥ ，则当x＝ 时，y取得最小值 ；若c＜ ，则当x＝c时，y取得最小值ac＋ ． 5．求解下列问题： （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，求函数 的最大值． 【答案】（1）4；（2） ． 6．设 为正实数，且 ． （1）求 的最小值； （2）若，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 得 ，当 时取等号． 故 ，当 时取等号． 所以 的最小值是 ，当且仅当取得最小值． （2）由得 ， 即 ，从而 ． 又 ，当 时取等号．所以 ．学*科网 7．某商品进货价每件50元，销售价格为每件 元，据市场调查，当销售价格 时，每天可售出 件，每天获得的利润为y元． （1）写出 关于 的函数表达式； （2）若要每天获得的利润最多，则售价应定为每件多少元？ 【答案】（1） ；（2）售价定为每件60元时，每天获得的利润最多． 【解析】（1）因为每件的售价为 元，所以每件的利润为 元， 由题意可得每天获得的利润 ． 8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲广场，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一个花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（如图中阴影部分）铺花岗岩地坪