高中数学自招教案：第17讲 简单的初等数论（未分AB组）

第十七讲 简单的初等数论 1、 知识总结 1. 高斯函数问题 设 是实数， 表示不超过 的最大整数，称为 的整数部分，即 是一个整数且满足 。例如： ， ， ， 。记 ，称为 的小数部分。 高斯函数的主要性质 性质1：对任意的 ，均有 ； 性质2：对任意的 ，函数 的值域为 ； 性质3：若 ，则 ； 性质4：若 ， ，则有 ， ； 后一式子表明 是一个以 为周期的函数。 性质5：若 、 ，则 ； 性质6：若 ， ，则 ； 性质7：若 ， ，则在区间 内，恰有 个整数是 的倍数； 性质8：设 为质数， ，则 在 的质因数分解式中的幂次为 。 2. 带余除法：对于任意整数 ， （ ），存在唯一的一对整数 、 ，使得 ， ，其中 和 分别称为 除 的商和余数。 3. 裴蜀定理（Bezout theorem）：若 ， 是整数，且 ，那么对于任意的整数 、 ， 都一定是 的倍数。 特别地，一定存在整数 、 ，使 成立。 推论： ， 互质的充要条件是存在 、 ，使 。 个整数的裴蜀定理：设 ， ， ， 是不全为零的整数， 是它们的最大公约数， 那么存在整数 ， ， ， ，使得 ，即（ ， ， ， ） 。 特别地，（*）式对 成立的充要条件是（ ， ， ， ） ，即 ， ， ， 互素。这里，符号（ ， ， ， ）指 ， ， ， 的最大公约数。 4. 算术基本定理：设整数 ，那么必有 （**），其中 （ ）是素数，且在不计次序的意义下，（**）式是唯一的。 若把（**）式中相同的素数合并，即得 ， ， （这里 互不相同， ），称为 的标准素因数分解式。。 5. 未知数的个数多于方程个数的方程（组）称为不定方程（组）。常用的解不定方程的方法有：配方法、因式分解法、不等式法、奇偶分析法、判别式法和余数分析法。 6. 一次不定方程 设整数 ， ， ， ， ， 是整数且 ， ， ， 都不等于零，以及 ， ， ， 是整数变量。方程 ，称为 元一次不定方程， ， ， ， 称为它的系数。 定理：上述不定方程有解的充要条件是 。 7. 多项式 余数定理：多项式 除以 的余数为 。 因式定理： （即 是 的根）的充要条件是 是多项式 的因式。 8. 同余 设 ，若 ，即 ，则称 同余于 模 ， 是 对模 的剩余，记作 ；不然，则称 不同余于 模 ， 不是 对模 的剩余，记作 同余有下列性质： 性质