10.2 事件的相互独立性-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA 10.2 事件的相互独立性 重点和难点 课标要求 重点：两个事件相互独立的定义及直观意义，利用事 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独 件的独立性解决实际问题， 立性的含义 难点：在实际问题情境中判断事件的独立性， 2.结合古典概型，利用独立性计算概率。 ★必备知识梳理 BIIANBA11B111BB0111101111111013111001111101111111111111111 基础梳理 知识点(1 事件的相互独立性 敲黑板) 1.定义 (积事件AB就是事件A与 1.事件A与B相互独立就 事件B同时发生) 是事件A的发生不影响事件B 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则 发生的概率，事件B的发生不 称事件A与事件B相互独立，简称为独立.◆敲黑板。 影响事件A发生的概率。 2.性质 2.相互独立事件同时发生 若事件A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互 的概率P(AB)=P(A)P(B), 独立.◆拓视野为 也就是说，两个相互独立事件同 时发生的概率等于每个事件发 3.应用 生的概率的积。 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条 件，所以若已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率 就可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常根 拓视野⊙ 据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响.若认为事件之间 由两个事件相互独立的定 没有影响，则认为它们相互独立. 义，容易验证必然事件2、不可 4.推广 能事件☑都与任意事件相互独 立.这是因为必然事件2总会 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,n∈N*)个事件 发生，不受任何事件是否发生的 的相互独立性，即若事件A1,A2,…,Am相互独立，则这n个事件 影响；同样，不可能事件心总不 同时发生的概率P(A1A2…Am)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). 会发生，也不受任何事件是否发 知识点(2互斥事件与相互独立事件的区别 生的影响.当然，它们也不影响 其他事件是否发生， (1)互斥事件与相互独立事件描述的都是两个事件间的关系， 但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件 的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响， (2)对于两个事件A,B,在满足不同的条件时，概率的计算方 法不同.求事件的概率时，一定要分清事件之间满足的是互斥还是 相互独立的关系，否则就会出现错误.已知事件A,B发生的概率 228 第十章概率进 分别为P(A),P(B),我们有如下结论：敲黑板 敲黑板⊙ 事件 表示 概率(A,B互斥) 概率(A,B相互独立) 相互独立事件与互斥事件的 A,B中至少 P(AUB) P(A)+P(B) 1-P(A)P(B)或P(A) 判定方法和概率公式 有一个发生 +P(B)-P(AB) 相互独立事件 互斥事件 A,B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 一个事件的发 两个事件不可 判断生与否对另一 1-[P(A)+ 能同时发生 方法个事件发生的 A,B都不发生 P(AB) 即AB=☑ P(B)] P(A)P(B) 概率没有影响 若事件A与B A,B恰有 P(A)P(B)+P(A)· 若事件A与B 个发生 P(ABUAB) P(A)+P(B) 互斥，则P(AU 概率相互独立，则 P(B) B)=P(A)+ 公式P(AB)=P(A)· P(B),反之不 P(B) A,B中至多 P(ABU 成立 1-P(A)P(B) 有一个发生 ABUAB) 重难拓展 重难点(1三个事件两两独立与相互独立 例①[回归教材P249T2]设样本空间2={a,b,c,d}含有等 可能的样本点，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.请验证A, B,C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 拓视野⊙ 解析因为P(A)=P(B)=P(C)=2=1, 求相互独立事件的概率的 4=2, 关键，是将事件看成若千个事件 P(AB)-P(AC)-P(C)- 相互独立的情形，同时注意互斥 事件的拆分以及对立事件概率 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), 的求法的应用. 即A,B,C三个事件两两独立. 当事件A与B相互独立 又因为PABC)=,但PCA)P(B)P(C) 1 时，P(AB)=P(A)P(B),因此 8 式子1-P(A)P(B)表示相互独 所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).◆拓视野 立事件A,B至少有一个不发生 深挖教材 的概率，它在计算中经常用到. 事件的独立性 对于n个随机事件A1, 1.三个事件两两独立 A2,…,An,有P(AUA2U…U 若事件A,B,C两两独立，即事件A,B,C中任意两个事件之间相互 An)=1-P(A∩A2∩…∩An), 独立，即P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)· 这个公式叫作概率的和与积的 P(C),但未必有P(ABC)=P(A)P(B)P(C).反之，若P(ABC)= 互补公式. P(A)P(B)P(C),也未必有P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C). 2.三个事件相互独立 当三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)时，称事件A,B, C相互独立（四个条件必须同时满足，缺一不可）， 229 重难点手册高中数学必修第二册RJA 111H1i1111 关键能力提升 1H111i1111 题型( 与事件相互独立性相关的事件 率的计算就能判定其独立性，如有放回地两次抽 关系的判断问题 奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影 1.事件相互独立性的判断问题 响，从而得出它们是否相互独立 例2（多选）下列各对事件中，互为相互 2.相互独立事件与互斥事件的混合判断 独立事件的是(). 问题 A.掷一枚骰子一次，事件M为“出现偶数 例3(2025·浙江瑞安中学单元检测)下 点”，事件N为“出现3点或6点” 列每对事件中， 是互斥事件， B.袋中有3白、2黑共5个除颜色外完全 是相互独立事件。 相同的小球，依次有放回地摸两个球，事件M 为“第一次摸到白球”，事件N为“第二次摸到 ①1000张有奖销售的奖券中某1张中一 白球” 等奖与该张奖券中二等奖； C.袋中有3白、2黑共5个除颜色外完全 ②有奖储蓄中不同开奖组的两个户头同 相同的小球，依次不放回地摸两个球，事件M 中一等奖； 为“第一次摸到白球”，事件N为“第二次摸到 ③在工会的抽奖活动中“老张抽到的两张 黑球” 奖券，1张中一等奖，另1张没中奖”与“老张抽 D.甲组3名男生、2名女生，乙组2名男 到的两张奖券都中二等奖”； 生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学 ④掷一枚骰子，“出现的点数为奇数”与 参加演讲比赛，事件M为“从甲组中选出1名 “出现的点数为偶数” 男生”，事件N为“从乙组中选出1名女生” 解析①是互斥事件，②是相互独立事件，③是互 解析在A中，样本空间2={1,2,3,4,5,6}，事 斥事件，④是互斥事件. 件M={2,4,6},事件N={3,6},事件MN={6}, 答案①③④；②！ p0M0=g-2PcNw=号-g,PMN) 6,即 题型2相互独立事件同时发生的概率 P(MN)=P(M)P(N),故事件M与N相互独立； 1.两个相互独立事件同时发生的概率 在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事 例④(2024·东北师大附中单元检测)一 件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事 个袋子中有3个白球、2个红球，每次从中任取 件；在C中，由于第一次摸到球不放回，因此会对第2：2个球，取出后再放回，求： 次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件； (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次 在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名 卡 取出的2个球都是红球的概率； 女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独 (2)第1次取出的2个球中1个是白球、1个 立事件. 是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率， 答案ABD 解析记“取出的2个球都是白球”为事件A,“取 方法总结 出的2个球都是红球”为事件B,“取出的2个球中1 判定相互独立事件的方法 个是白球、1个是红球”为事件C,很明显，由于每次取 ①用定义；②用性质；③有些事件不必通过概 出后再放回，A,B,C都是相互独立事件 230 第十章概率 888888888 记3个白球分别为白1，白2，白3,2个红球为红1， 方法总结 红2，从5个球中一次取2个球的取法有（白1，白2）， 应用相互独立事件的概率乘法公式 (白1，白3)，（白1，红1)，（白1，红2），（白2，白3），（白2， 求概率的解题步骤 红1)，（白2，红2），（白3，红1），（白3，红2），（红1，红2），共 第一步：确定各事件是相互独立的； 10种.其中2个球都是白球有（白1，白2），（白1，白3）， 第二步：确定各事件会同时发生； （白2，白3)，2个球都是红球有（红1，红2），1个白球、 第三步：先求每个事件发生的概率，再求其积。 1个红球有（白1，红1)，（白1，红2），（白2，红1)，（白2， 题型③事件的相互独立性的综合应用 红2)，（白3，红1)，（白3，红2）， Pa=器Pu=0P0=8- 1.相互独立事件与互斥事件的综合问题 例6(2025·华中师大一附中期末)如 (DP(AB)-P(A)P(BX100 1 3 图，三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的 133 为2：，，将它们中某两个元件并联后再和 2个球郭是红球的版丰是8 第三个元件串联接人电路 ②PCA)-PCPA-昌×是-0 故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红 球，第2次取出的2个球都是白球的概摩是品 (1)该电路不发生故障的概率是多少？ 2.多个相互独立事件同时发生的概率 (2)三个元件连成怎样的电路，才能使电 例⑤(2024·河北邢台一中单元检测) 路不发生故障的概率最大？ 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位 解析(1)电路不发生故障包括三种情况： 231 的职位，3人能被选中的概率分别为亏，4,3， 一是三个元件都正常工作； 二是T1正常工作，T2正常工作，T3不能正常工作； 且各自能否被选中互不影响.求： 三是T1正常工作，T2不能正常工作，T3正常工作 (1)3人同时被选中的概率； 这三种情况是互斥的，每一种情况里三个元件是 (2)3人中恰有1人被选中的概率， 否正常工作是相互独立的， 解析记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B, :电路不发生障的概率P日××是+号 1 C,别PA)-号，PB)-子，P(G= (1)3人同时被选中的概率P1=P(ABC) P(A)P(B)P(C)=2x3x1-1 (2)把T2或T3与T1的位置互换， 51 ×4×3=10 (,T2和T3正常工作的概率是相同的，∴.这样只要换一下 (2)3人中恰有1人被选中的概率P2 T1得出概率，再与上面得出的结果进行比较就可以得到结论) PCAECUA UA BC)-号×-)×1-号) 所得电路不发生故障的凝率p-子X号×是十 1号)×x1》+1)×1)×g×3×+×2×好-器 231 重难点手册高中数学必修第二册RJA :2115 32321 把T2或T3与T1的位置互换， ③每位参加者按问题A,B,C,D的顺序 作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A,B, 即T1与T2(或T3)并联后再与T3(或T2)串联，这样 的连接方式能使电路不发生故障的概率最大， C,D回答正确的概率伙次为，2，日，且各 思维过程 题回答正确与否相互之间没有影响， (1)由并联电路一通即通，串联电路全通才通 (1)求甲同学能进入下一轮的概率； 分析出不发生故障包含的情形，再通过三个元件正 常工作的概率相互独立计算出不发生故障的概率. (2)用表示甲同学本轮答题结束时所答 (2)因为T2,T3正常工作的概率相同且原电 题的个数，求“=3”的概率， 路中T2,T3都并联在电路中，只需更换T1和T2 解析用M;(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题 (或T3)的位置，计算该情况下不发生故障的概率， 回答正确，用N:(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题 再进行比较即可 回答错误，则M:与N:是对立事件(i=1,2,3,4).由 变式①(2025·山东青岛期末)如图，由 题意得P(M)=,PM,)=2,P(M:)=}, M到N的电路中有4个元件，分别标为T1, P(M4)=4 T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都 是P,电流能通过T4的概率是0.9，电流能否 所以P(N)=子，P(N,)=,P(N)=号， 通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少 有一个能通过电流的概率为0.999. P(N) (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q, Q=M M2M:+N M2M:M+M N2M:M+ M M2NsM+N M2N3M 由于每题答题结果相互独立，因此 (1)求P; P(Q)=P(MM,M+N M,MM+MN,MM+ (2)求电流能在M与N之间通过的概率， M M2N3M+N M2N3M) 2.较复杂事件的概率计算问题 =P(MMM)+P(N MM M)+P(MNM M) 例⑦某学校举行知识竞赛，第一轮选拔 +P(M M2NM)+P(N M2N3M) 共设有A,B,C,D四个问题，规则如下： =P(M1)P(M2)P(M3)+P(N1)P(M2)· ①每位参加者记分器的初始分均为10分， P(M3)P(M4)+P(M1)P(N2)P(M3)· 答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、 P(M)+P(M)P(M)P(Ns)P(M)+P(N). 6分，答错任一题减2分， P(M2)P(N3)P(M4) ②每回答一题，记分器将显示累计分数， 当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局； 当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进 4+×2× 2十 入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分 时，答题结束，淘汰出局 232 第十章概率翻 888888888 (2)记“=3”为事件R, =P(M1)P(M2)P(M3)+P(M1)P(N2)P(N3) 则R=M1M2M3+M1N2N3. 3、1、1,3、1、23 所以P(R)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3) 4 ×2×3+4×2×3=8: 核心素养聚焦 考向(1； 相互独立事件的判断与概率 1 1 A. 计算 B.4 C.2 D.0 1 例8（经典·新高考全国I卷）有6个相 解析P(A)= 2P(B)=2 同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放 .P(A∩B)=P(A)P(B)= 回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件 (事件A,B相互独立》 “第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第 答案B 二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次 考查内容 核心素养 试题难度 取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次 考查相互独立事件的综合判 逻辑推理 ★★☆☆☆ 取出的球的数字之和是7”，则(). 断问题及应用 数学运算 A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立 考向(2 相互独立事件与互斥事件的综 C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立 合问题 解析事件甲发生的概率P(甲)=6，事件乙发 例10(2025·上海卷)已知四边形ABCD, 对四条边AB,BC,CD,DA依次进行如下操 生的概率P(乙)=日，事件丙发生的概率P(丙) 作：随机抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正 5-5 6X6=6,事件丁发生的概率P(丁)= 面朝上，则擦除该边，若反面朝上，则不擦除。 在操作完成后，从点A出发，沿着未擦除的边 件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)· 移动，则能到达点C的概率是( ) P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率 为文0，P(甲T)=P(甲)P(T),故B正确：李 A.2 B. 16 ▣羽 视频微课 3 11 件乙与事件丙同时发生的概率为6X6一36P(乙丙) C. D.16 ≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事 解析抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反 件，不是相互独立事件，故D错误。 面朝上的概率均为2，且AB,BC,CD,DA是否擦除 答案B 相互独立.记沿着A→D→C路线移动到达，点C为事 例9(2025·上海卷)已知事件A,B相 (即同时保留AD,DC) 互独立，事件A发生的概率P(A)= ,事件B 件M,沿A→B→C路线移动到达点C为事件N,则 (即同时保留AB,BC) P(M)=P(W)=LX1_1 发生的概率P(B)=2,则事件A∩B发生的 2X2=4因为事件M和事件N 概率P(A∩B)为(). 相互独立，则P(MN) =6,所以从点A出 () 233 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA 发，沿着未擦除的边移动到达，点C的概率为P(MUN) (1)求P(X=2): -P(M)+P(N)-P(MN)= (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率. 解析(1)X=2就是10：10平后，两人又打了2个 答案B 球后该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均 考查内容 核心素养 试题难度 由乙得分 考查相互独立事件与互斥事 逻辑推理 因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1 ★★☆☆☆ 件的综合概率计算问题 数学运算 0.4)=0.5. 例11（经典·课标Ⅱ卷）11分制乒乓球 (2)X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打 比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平 了4个球后该局比赛结束，且这4个球的得分情况 后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜， 为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.因 此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]× 该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛， 0.5×0.4=0.1. 假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时 甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在 考查内容 核心素养 试题难度 某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了 考查互斥事件、相互独立事件 逻辑推理 ★★☆☆☆ 在特定情况下的概率 数学运算 X个球，该局比赛结束 234