广东实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题（PDF版）

第1页（共4页） 2018 年高二文科数学中段考试解答及评分标准 一、 CBCABC DBACDB 13． 1 1625 22 =+ yx ；14. 2 1 ；15. ；16.3 17.（本题满分 10 分）已知椭圆 C： )0(1 2 2 2 2 =+ ba b y a x 的左、右焦点分别为 F1，F2， 经过点 F2 的直线与椭圆相交于 C，D 两点，已知|F1F2|=4，△F1CD 的周长为 8 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l：y=x﹣2 与椭圆交于 A，B 两点，求|AB|的值； 解：（1）∵2c=4，∴c=2，1 分 ∵△F1CD 的周长为 8 ∴4a=8 ， ∴a=2 ，3 分 ∴b2=a2﹣c2=8﹣4=44 分，故椭圆方程为 + =1，5 分 （2） 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 2 082 22 { −= =−+ xy yx 消去 y 得 3x2﹣8x=0，7 分 所以 x1=0，x2= 3 8 ，8 分，解得 y1=﹣2，y2= 3 2 ．9 分 所以|AB|= 3 28 2 3 2 0- 3 8 22 =++ ）（）（ 10 分 18.解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，∵S2=2，S4=﹣20， ∴2a1+d=2，4a1+6d=﹣20，2 分，联立解得 a1=4，d=﹣6，4 分 ∴an=4﹣6（n﹣1）=10﹣6n，5 分，Sn= =7n﹣3n 2 7 分 （2）假设存在 n，使 Sn，Sn+2+2n，Sn+3 成等差数列， 则 2（Sn+2+2n）=Sn+Sn+3，9 分 ∴2[7（n+2）﹣3（n+2）2+2n]=7n﹣3n2+7（n+3）﹣3（n+3）2，11 分 解得 n=5．则存在 n=5，使 Sn，Sn+2+2n，Sn+3 成等差数列．12 分 19.（本题满分 12 分） 解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…2分 第2页（共4页） 即 2cosAsinA=sinA，因为 A∈（0，π）， 所以 sinA≠0，所以 2cosA=1，即 ，…4 分 又 A∈（0，π），所以 ． …6 分 （2）因为 ，B∈（0，π）， 所以 ，…7 分 所以 ， ，…8 分 = …10 分 = = ．…12 分 20.（本题满分 12 分）解：（1）补齐[90，100]上的频率分布直方图如下： …2分 设年需求量平均数为 ， 则 =65×0.05+75×0.15+85×0.5+95×0.2+105×0.1=86.5．…6分 （注：列式（2 分），错一个扣（1 分），错两个及以上不得分；答案 2 分） （2）设今年的年需求量为 x 吨、年获利为 y 万元 当 0≤x≤100时，y=0.4x﹣0.3（100﹣x）=0.7x﹣30， 当 x＞100 时，y=40，故 y= ， …8分 0.7x﹣30≥27.4，解得 x≥82．…9分 第3页（共4页） P（82≤x≤90）= = =0.4，…10分 P（90≤x＜100）=0.2，P（100≤x≤110）=0.1，…..11分 P（x≥82）=P（82≤x＜90）+P（90≤x＜100）+P（100≤x＜110）=0.4+0.2+0.1=0.7． 所以今年获利不少于 27.4 万元的概率为 0.7．…12分 21．（本题满分 12 分） 解：（1）当点 N 为 PD 中点时 AN∥平面 PMC．1 分 证明如下：取 PD 中点 N，PC 中点 Q，连结 AN，QN，MQ， 在△PCD 中，∵N，Q 分别是所在边 PD，PC 的中点， ∴NQ∥CD 且 ．2 分 ∵点 M 为 AB 中点，AB=CD， ∴NQ∥AM 且 NQ=AM．∴四边形 AMQN 是平行四边形，得 AN∥MQ．4 分 又∵AN⊄平面 PMC，MQ⊂平面 PMC，∴AN∥平面 PMC；5 分 （2）在△ABC 中，BC=2AB，∠ABC=60°，设 AB=a，则 BC=2a， 由余弦定理有：  6 分 则 BC2=AB2+AC2，由勾股定理的逆定理可得：AC⊥AB．7 分 又∵PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面 PAB， ∴AC⊥平面 PAB． ∵PM⊂平面 PAB，∴AC⊥PM．8 分 ∵PA=PB，点 M 为线段 AB 的中点，∴PM⊥AB，又 AC∩AB=A， 因此 PM⊥平面 ABCD．9 分 在 Rt△