衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题四 函数单调性的应用面面观

( 衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习 ) 专题四 函数单调性的应用面面观 【方法综述】 函数单调性的应用，主要有比较函数值大小、解不等式、求参数的取值范围（值）、求函数的最值（值域）等，下面举例说明. 一、比较函数值大小 例1. 设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解：根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即，故选A. 解题策略：　(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大； (2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间． 二、解不等式 例2.已知函数，则不等式的解集是__________． 解：当时，， 在上递增， 由， 可得或， 解得或，即为或， 即，即有解集为，故答案为. 解题策略：　(1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小关系，然后去解不等式． (2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围． (3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错． 三、求参数的取值范围（值） 例3.已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围． 解：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则Δx＝x2－x1>0. Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1) ＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)． ∵1≤x1<x2，∴x＋x1x2＋x>3. 显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值． 又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数， ∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数， 即x＋x1x2＋x>a. 当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3， ∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0， 即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴a的取值范围是(0,3]． 四、利用函数单调性求函数的最值（值域） 例4．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝4时，求f(x)的最小值； (2)当a＝时，求f(x)的最小值； (3)若a为正常数，求f(x)的最小值