衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题三 函数单调性的判断与证明

( 衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习 ) 专题三函数单调性的判断与证明 【方法综述】 1．函数的单调性 （1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数. 2.复合函数单调性的结论： y＝f(t) 递增 递减 t＝g(x) 递增 递减 递增 递减 y＝f[g(x)] 递增 递减 递减 递增 以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性． 3.用定义证明函数单调性中的变形策略 由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)－f(x2)的符号的关键所在．常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明. 例1.求证：函数f(x)＝x2－4x在(－∞，2]上是减函数． 证明：设x1，x2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x－4x1)－(x－4x2) ＝(x1－x2)(x1＋x2－4)． 因为x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0，x1＋x2－4＜0. 所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)． 故函数f(x)在(－∞，2]上是减函数． 评注　因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)－f(x2)的符号． 例2.求证：函数f(x)＝x3＋1在R上是增函数． 证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x＋1－x－1 ＝x－x ＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x) ＝(x1－x2). 因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，2＋x＞0. 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 故函数f(x)在R上是增函数． 评注　本题极易在(x1－x2)(x＋x1x2＋x)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断x＋x1x2＋x的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”． 例3.已知函数f(x)＝x＋，求证：函数f(x)在区