衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题二 常见分段函数问题求解策略

( 衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习 ) 专题二 常见分段函数问题求解策略 【方法综述】 分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明． 1．求分段函数的函数值 例1. 已知函数，则= 解：因为,所以. 解题策略　求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理． 2．求解分段函数的解析式 例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式． 解：　(1)由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解：析式y＝kx，又因过点(100,40)，得解析式为y＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100， 所以应交话费y＝×50＝20(元)． (2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60. 则有解：得 所以解：析式为y＝x＋20， 故所求函数关系式为y＝ 解题策略　以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点． 3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象 例3.已知函数. （Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数； （Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域（不要求证明). 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）图象见解：析，定义域：，值域：. 【解析】 （Ⅰ） （Ⅱ）图象如下图： 观察得到定义域为，值域为. 解题策略 （1）分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实． （2