考点15 三角函数式的化简与求值-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 1．诱导公式： 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式． 2．同角三角函数基本关系 理解同角三角函数的基本关系式： ； ． 3．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【命题规律】 三角函数式的化简与求值在客观题中进行考查通常可单独命题进行考查，试题难度中低档为主，小巧灵活，重视转化思想的应用；在解答题中，常常与三角函数的图象和性质结合、与正弦定理和余弦定理结合，以中档题为主，坚持以“能力立意”的命题趋势，主要考查考生的等价变换能力、运算求解能力、逻辑思维能力、转化的思想． 预计2018年的高考对三角函数式的化简求值仍将会继续保持稳定，坚持考查在小题中单独命题考查，在大题中与解三角形要结合，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）诱导公式的应用 例1　【2016四川】 =＿＿＿＿＿＿． 【变式1】【例题中的角度改变，函数名不变】 （　　　 ） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D. [来源:Z§xx§k.Com] 【变式2】【例题中的角度改变，函数名改变】 的值是（　　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． （二）同角三角函数基本关系的应用 例2　【2016全国Ⅲ】若 ，则 ＿＿＿＿＿＿． A． 　　　　B． 　　　　　C．1　　　　　D． 【变式1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若 ，则 （　　　） A． 　　　　B． 　　　　　C． 　　　　　D． 【变式2】【例题中的条件与结论进行交换】已知 ，则 （　　　） （三）倍角公式的应用 例3　（2018年全国卷Ⅲ文）若，则 A． B． C． D． 【变式1】【例题中的函数名称改变，同时强化条件】已知 ,且 为第二象限的角，则 （　　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 【变式2】【例题的条件与结论角改为了倍角与差角】已知 ，则 （　　　） A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． （四）两角和与差的公式的应用 例4　（2018年全国卷II文）已知，则__________． 【变式1】【例题条件中的差角变为和角，且减少角的取值范围，结论中三角函数式略有改变】已知 ，则 （　　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 【变式2】【例题中的角和名称改变，条件与结论交换】若 ， ，则 的值为（　　　） A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 【数学思想】 1．方程思想 在三角函数的应用主要体现在：（1）通过建立方程（组）求三角函数值或角；（2）通过建立方程（组）求相关的参数． 2．转化与化归的思想 在三角函数中的应用主要体现在：（1）角的转化，如和角、差角、倍角与单角之间的相互转化；（2）三角函数的名称之间的转化，，主要是利用同角三角函数基本关系与诱导公式来实现． 3．分类讨论思想 在三角函数中应用主要体现在：（1）遇到同角三角函数的基本关系中的平方关系时，确定三角函数的符号时，可能要涉及到角的象限的讨论；（2）利用诱导公式时，如果遇到含有“ ”时，可能要考虑分 为奇数或偶数进行讨论．[来源:Z§xx§k.Com] 【处理三角函数化简与求值问题注意点】 1．在运用同角三角函数基本关系化中的平方关系时，必须要注意判断角的范围或角所在的象限； 2．熟记三角函数的诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题和使用原则，如果出现 的形式时，需要对 的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号． 3．熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用，以及常值代换的应用，和（差）角、倍角、单角之间的转化关系，注意分析角间关系、所求三角函数式与公式间的差异，正确选用相应公式． 4．三角函数式化简必须做到五个“尽量”：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数种数尽量少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母不含三角函数；（5）尽量使被开方数不含三角函数． 【典例试题演练】 1．【2019广东省广州市联考】已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．【2019安徽省皖中名校联盟】已知，且是第四象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．【2019广东省华南师范大学附属中学月考】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．【2019安徽省2