专题03 导数及其应用-学易金卷：2023年高考数学二模试题分项汇编（上海专用）

专题03 导数及其应用 一、填空题 1.（崇明） 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________． 2. （杨浦）函数的导数是______ 二、选择题 3. （崇明）下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 4.（浦东新区）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数. 那么（ ）. A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 三、解答题 5. （杨浦）如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界.已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线的轨迹方程为：.计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区. （1）若点坐标为，计算直路的长度；（精确到0.1千米） （2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值.（精确到0.1平方千米） 6．（宝山）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体. 如：方程中，当取给定的实数时，表示一条直线；当在实数范围内变化时，表示过点的直线族（不含轴）. 记直线族(其中)为，直线族(其中)为. (1) 分别判断点,是否在的某条直线上，并说明理由； (2) 对于给定的正实数，点不在的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）； (3) 直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求的包络和的包络. 7.（虹口）（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设，，. （1）求函数，的单调区间和极值； （2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值； （3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 8.（闵行）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为． （1）当时，求实数的值； （2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围． 9.（青浦）(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 设是定义域为的函数，当时， 记． （1）已知在区间I上严格增，且对任意，，有， 证明：函数在区间I上严格增； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数a的值； （3）已知，，，且对任意，当时，有，证明：． 10．（奉贤）（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7分，第 2 小题满分7分） 设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． （1）求证：函数不具有性质； （2）判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 11．（奉贤）（本题满分 18 分，第 1 小题满分 6分，第 2 小题满分8 分，第 3 小题满分 4 分） 某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道． 为了简单起见，现作如下假设： 假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1； 假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路； 假设3：路的宽度在这里暂时不考虑； 假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示． 图1-图3中的相关边、角满足以下条件： 直线与的交点是，∥，．米． 小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米． 图1 图2 图3 （1）假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长； （2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值； （3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价． 12．（静安）（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分） 已知函数.（其中a