考点17 三角函数的性质与应用-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 （1）了解三角函数的周期性； （2）理解正弦函数、余弦函数在区间 上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 轴的交点等）； （3）理解正切函数在区间 内的单调性． 【命题规律】[来源:学。科。网] 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）． 预计2019年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用． 【典型高考试题变式】 （一）三角函数的周期性 例1　【2018新课标I】已知函数 ，则 A． 的最小正周期为π，最大值为3 B． 的最小正周期为π，最大值为4 C． 的最小正周期为 ，最大值为3 D． 的最小正周期为 ，最大值为4 【变式1】【例题中的解析式改变了，选择题改为填空题】函数 的最小正周期是__________． 【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数 的最小正周期是 ，则正数 的值为＿＿＿＿＿＿． （二）三角函数的单调性 例2　【2018全国卷II】若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D． 【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数 的一个零点是 ， 是 的图像的一条对称轴，则 取最小值时， 的单调增区间是（　　　） A． 　　　B． C． 　　　D． 【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数 的单调增区间是_________． （三）三角函数的奇偶性 例3　【2014安徽】若将函数 的图像向右平移 个单位，所得图像关于 轴对称，则 的最小正值是（　　　） A． 　　　　B. 　　　　C． 　　　　D． 【变式1】【命题中由先求解析式改为直接给出解析，且由偶函数改为奇函数，所求基本不变】若函数 是奇函数，则 （　　　） A． 　　　　B． 　　　C． 　　　　D． 【变式2】【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函数 是奇函数，且最小正周期为 ，则 ＿＿＿． （四）三角函数的对称性 例4　【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【变式1】【例题由正弦改为余弦，由求对称轴改为求对称中心】将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象的一个对称中心为（　　　） 【变式2】【由例题求函数的对称轴改为根据函数的对称性求解参数】如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（　　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． （五）三角函数的最值 例5　【2018北京卷理】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________． 【变式1】【例题中的解析式改变了，给定区间改变了，求最大值改为求最小值】函数 ，则 的最小值为___________． 【变式2】【例题中解析式改为含有字母的解析式，所求最大值没改】设 为常数，且 ，则函数 的最大值为（　　　） A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 【数学思想】 1．函数与方程的思想 主要体现在求解析式中含有参数的函数性质问题时，通常要通过建立方程解决；求解三角函数的最值有时可以转化二次函数，利用二次函数的最值知识求解． 2．转化与化归的思想 主要体现在求解函数的性质（奇偶性、对称性、单调性、周期性最值等）时，通常要将函数转化为形如 的形式，再利用正弦曲线的性质求解． 3．分类讨论的思想 主要体现在求解解析式、定义域中含有参数的函数性质时，由于参数的取值范围不同，可能造成不同的结果，此时常常要考虑利用分类讨论的思想求解． 4．整体代换的思想 求较为复杂的三角函数的性质时，首先化简成 的形式，通常将 看作一个整体，代入 的单调区间、对称轴（或中心）可求得相应的单调性区间与对称轴（或中心）． 【注意事项】 1．求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．三角函数存在多个单调区间时易错用“ ”联结． 2．闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． 3．处理三角函数的奇偶性或最值等性质时，必须树立“定义域优先”的意识． 4．利用函数的单调性比较两个三角函数值的大小时，必须将考虑所涉及到的角是否在同一单调区间内，否则会造成错判． 5．利用换元法处理三角函数的最值