考点18 正弦定理与余弦定理-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；  （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 【命题规律】 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题．今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用．题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题． 【典型高考试题变式】 （一）正弦定理的应用 例1 【2017新课标2】 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 ＿＿＿＿＿＿．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 【变式1】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦等式给出，所求没改变】在 中，若 ，则 为（　　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 或 　　　　D． 或 【变式2】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦及余弦混合等式给出，所求没改变】在 ,内角 所对的边长分别为 且 ,则 （ ）[来源:Zxxk.Com] A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． （二）余弦定理的应用 例2．【2018年全国卷II理】在中，,BC=1,AC=5，则AB= A． B． C． D． 【变式1】【例题中的条件的相关数据作了改变，另外给出了两边的大小关系，在命题方式基本没有改变】设 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，且 ，则 （　　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 【变式2】【例题中的非特殊角改变为特殊解，其它的没有改变】 的内角 的对边分别为 ，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则边 等于（　　　） A． 　　　B． 　　　C． 　　　D. 2 （三）三角形面积公式的应用 例3　【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D． 【变式1】【将例题中的已知改变为两边一角】在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，则 ，则 的面积为（　　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 【变式2】【例题中改为两个角的关系、所求由求面积改变为了求面积最值】在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 面积的最大值为（　　　） A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． （四）正、余弦定理的综合的应用 例4　【2018新课标I卷理】在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 【变式1】【将例题中条件与（2）小题的结论在给出方式上进行换位，两个小问题的解法没改变】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 的值； （2）若 求 的面积 . 【变式2】【例题由条件改为边角关系，所求问题均不变化，但均需利用正弦定理与余弦定理解决】在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， . （1）求证： ； （2）若 ， 为锐角，求 的取值范围. 【数学思想】 1．函数与方程思想[来源:Z。xx。k.Com] 在解三角形中求边或角时，除直接利用正弦定理与余弦定理求解外，多数情况下要结合正弦定理或余弦定理、面积公式建立方程（组）来解决．求三角形中的最值时通常要通过建立函数，通过求函数的值域来处理． 2．转化与化归的思想 在解三角形中转化与化归思想主要体现为：（1）利用正弦定理、余弦定理进行角化边或边化角；（2）与三角函数结合进行三角函数角之间的转化． 3．数形结合思想 解三角形问题本身就离不开图形，特别是要注意三角形在边与角的特殊性，利用图形的特殊性进行直观处理，常常可达到快速解题的目的． 4．分类讨论思想 利用正确定理解决三角形的解个数时，如果含有字母参数，常常要用到分类讨论的思想． 【处理解三角形问题注意点】 1．已知两边及其一边的对角，应当运用正弦定理，从而得到另一角的正弦值，些时要注意对三角形的形状做出判断． 2．利用正弦定理与余弦定理求角或边时，不注意挖掘条件的隐含条件，忽视边或角的大小取值范围，进行造成多解或漏解． 3．利用正弦定理与余弦定理求三角形的边或边的取值范围时，常常会忽视构造三角形的条件（大边对大角、小边对小角），造成多解或扩大边的取值范围． 4．利用正弦定理讨论三角形多解情况时常常会因为弄不清比较对象而致错． 5．利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状时，常常会没有将已知条件用尽，提前对三角形的形状作出判断，或条件过多而没弄清楚其逻辑关系，可能会造成错判． 【典例试题演练】 1．【山东省师大附中2019届二模】中，角的对边分别为，若 ，则角（ ） A． B． C． D． 2