考点19 解三角形相关的综合问题-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 （1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形试题问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【命题规律】 以选择题、填空题的形式考查，主要利用正弦定理与余弦定理实现边角互化、与数列、解析几何等综合，属基础题；以解答题的形式考查，主要的题型有两类：一是以实际生活为背景，常与试题工件、测量距离和高度及工程建筑等生产相结合，通过巧妙设计和整合，命制新颖别致的考题，该类问题重在考查学生分析问题并能用数学工具解决实际问题的能力，属中档题；二是与平面向量、三角恒等变换等知识交汇命题，考查三角形的有关知识． 预计2019年高考在解答题考查解三角形与三角恒等变换相结合，考查学生综合分析与解决问题的能力． 【典型高考试题变式】 （一）与三角函数的综合 例1　【2017课标II】 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 ． 【方法技巧归纳】三角恒等变换与正、余弦定理在高考中经常交汇出现.根据正、余弦定理可以计算内角的正、余弦值,再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值,恒等变换公式与正、余弦定理公式往往交替使用,具体的选择要结合条件及待求量灵活处理． 【变式1】【例题中条件给出方式没变，（1）问求解角没变，（2）变为了知边求面积】锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 ． （1）求角 的大小； （2）若线段 上存在一点 ，使得 ，且 , ，求 ． 【变式2】【例题中条件的给出方式没变，（1）问求解角，（2）改为知边求三角形边的中线】在 中，角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求角A的大小； （2）若 ，D是BC的中点，求AD的长． （二）与平面向量的综合 例2　【2014辽宁卷】在 中，内角 的对边 ，且 ，已知 ， ， ，求： （1） 和 的值； （2） 的值. 【方法技巧归纳】解三角形与平面向量的交汇在高考中越来越受到重视，这是因为此类试题既新颖精巧，又符合在知识的“交汇处”构题．这类试题解答主要有两种途径：（1）首先利用正弦定理或余弦定理转化边或角的关系，然后利用平面向量的知识求解；（2）首先利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积等知识将向量转化为三角形的边或角的关系，然后选用正弦定理与余弦定理进行求解． 【变式1】【例题条件中的数量积改为所求，两题都是利用正弦定理与余弦定理求解】在 中， 的对边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）设 ， 为垂足，若 ， ，求 的值． 【变式2】【例题中条件边与角的大小改为面积，所求还是求角和求边】已知 中, 分别是内角 的对边,若 ， ． (1)求角 的大小；[来源:学+科+网] (2)若边长 ,求边长 和 大小． （三）解三角形的实际应用问题 例3　【2014新课标Ⅰ】如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 .已知山高 ，则山高 ________ ． 【方法技巧归纳】应用正弦定理、余弦定理解决实际问题的步骤及流程： （1）读题：分析题意，准确理解题意，分析已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、和方位角等； （2）图解：根据题意画出示意图，并将已知条件在图中标出； （3）建模：将所求解的问题归结到一个或几个三角形，通过合理运算正弦定理、余弦定理等有关的知识求解； （4）验证：检验解出的结果是否具有实际意义，并对结果进行取舍，得出正确答案． 【变式1】【例题中测高度没有改变，改变的是测量的个别量的数据】如图,无人机在离地面高 的 处,观测到山顶 处的仰角为 、山脚 处的俯角为 ,已知 ，则山的高度 MN为_________ ． 【变式2】【例题中测山的高度改变为测海上两岛屿的距离，解答同时利用正弦与余弦定理】5．如图所示，为了测量 处岛屿的距离，小明在 处观测， 分别在 处的北偏西 、北偏东 方向，再往正东方向行驶40海里至 处，观测 在 处的正北方向， 在 处的北偏西 方向，则 两处岛屿间的距离为（　　　） A． 海里　　　　B． 海里　　　　C． 海里　　　D．40海里 【数学思想】 1．函数与方程思想 在解三角形与三角变换、平面向量综合问题中，常常会涉及到求边的长及相关几何量的最值，这时常常会用到方程思想与函数的思想来解决；在实际应用中，由于涉及到几何量较为分散、直接联系不明显，常常要通过建立方程来处理． 2．转化的思想 在解三角形与平面向量综合问题中，解答时常常是先利用向量知识将所涉及到向量关系转化为三角函数知识，再利用相关知识求解；在解三角形与三角函数综合的问题中，常常会利用它们的联系点（角）作桥梁，进行相互转化进行处理． 3．数形结合思想 对于某些