专题06 线段最值问题模型解题-决胜2019中考数学之模型解题高分攻略

专题06 线段最值问题模型解题 解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决几何最值问题的高效手段. 解题模型一 图形 转化 直线l外有一定点A，点B是直线l上的一个动点，求AB的最小值. 过定点A作AB⊥l于点B. 针对训练 1.（2018•长春）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为　 　． 解题模型二 图形 转化 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP＋BP的最小值. 作其中一个定点关于定直线l的对称点，连接对称点与另一定点. 点A是l1上的动点，B，P是定点，求PA+AB的最小值. 作点P关于直线l1的对称点P’，则P’B为PA+AB的最小值. 针对训练 2．（2018•天津）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（　　） A．AB B．DE C．BD D．AF 3.（2018•十堰）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为　 　． 解题模型三 图形 转化 [来源:Zxxk.Com] P为定点，M，N为定直线上的动点，求△PMN周长的最小值. 过定点P分别作关于两条定直线的对称点，连接两对称点. 求直线l1，l2上的点M，N，使得四边形PQMN的周长最小. 作定点Q关于直线l1的对称点Q’，作定点P关于直线l2的对称点P’，连接Q’P’，分别交直线l1，l2于点M，N [来源:学。科。网] 针对训练 4．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）[来源:学科网ZXXK] A．25° B．30° C．35° D．40° 5．（2015•玉林）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　 　． 解题模型四 图形 转化 直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的值最小. 将点A向下平移MN的单位长度得A′，连接A′B，交n于点N，过点N作MN⊥m于M，点M，N即为所求. 在直线l上求两点M，N（M在左），使MN＝a，并使AM＋MN＋NB的值最小. 将点A向右平移a个长度单位得A′，作A′关于l的对称点A″，连接A″B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位长度得M. 针对训练 6.（2017•内江）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=　 　． 解题模型五 图形 转化 P是圆上一动点，求AP的最大值和最小值． 当P点运动到点B时，AP取得最小值；当P点运动到点C时，AP取得最大值. P为圆内一定点，求过点P的弦的最小值与最大值. AB是过圆O内定点P的弦.当OP⊥AB时，过点P的弦的最小值为线段AB；过点P的弦的最大值为圆的直径. 针对训练 7．（2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4 8．（2018•内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为　 　． 解题模型六 图例 圆柱 则AB2＝B′A2＋B′B2 长 方 体 阶梯 问题 基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解. 针对训练 9．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B