河南省郑州市第一中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题（pdf版）

高三 理科数学 第 1页 （共 6 页） 2018—2019学年上期中考 高三理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C B B C A D C B B C 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13．1 14． 5 8 15． 135 16．4 三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解析:（Ⅰ）因为 1 1 2 2 ... (2 1) 3 1 n n na b a b a b n       所以 1 1 1 1 2 2 2, 26, a b a b a b     所以 2 2 24.a b  又 1 22, 8b b  , 解得 1 21, 3a a  , 因为数列{ }na 是以 1为首项，以 2 1 3a a  为公比的等比数列， 所以数列{ }na 的通项公式为 13nna  ， { }na 的前 n项和 1 3 3 1 1 3 2 n n nS      ． ………………6分 （Ⅱ）由（1）知 13nna  及 1 1 2 2 ... (2 1) 3 1 n n na b a b a b n       得 1 1 23 ... 3 (2 1) 3 1 n n nb b b n        ① 当 2n  时， 2 11 2 13 ... 3 (2 3) 3 1 n n nb b b n          ② ①②得， 1 13 4 3n nnb n    所以 2n  ， 4nb n ． 又当 1n  时, 1 2b  ， 所以数列{ }nb 的通项公式为 2, 1, 4 , 2.n n b n n     ． ………………12分 高三 理科数学 第 2页 （共 6 页） 18．解析：（1）证明：因为 1 1AA AC ，且O为 AC的中点，所以 1AO AC , 又因为 1 1AAC C ABC平面 平面 ， 1 1 =AAC C ABC AC平面 平面 ， 又 1 1 1AO AAC C平面 ，所以 1AO ABC平面 . …………4分 （2）如图，以O为原点， , ,OB OC OA所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系． 由已知可得 1 1(0,0,0), (0, 1,0), ( 3,0,0), (0,0, 3), (0,2, 3)O A B A C ， 所以 1 1 1( 3,1,0), ( 3,0, 3), (0,2,0)AB A B AC       ， 设平面 1 1A BC 的法向量为 ( , , )x y zn ， 则有 2 0, 3 3 0, y x z     取 1x  ，得 (1,0,1)n ， 3 6cos , | 4| 2 2 ABAB AB         nn | | n | ． 设直线 AB与平面 1 1A BC 所成角为 ，则 6sin | cos , | 4 AB     n ． 所以设直线 AB与平面 1 1A BC 所成角的正弦值为 6 4 ．…………12分 19．解：（1）孙先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的频率为 4 16 2 50 5   ， 视频率为概率，孙先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率为 2 5 ． X 的所有可能取值为0,1,2,3,4．则 X 服从二项分布 2(4, ) 5 B ，所以 0 0 4 4 2 3 81( 0) ( ) ( ) 5 5 625 P X C   ； 1 1 34 2 3 216( 1) ( ) ( ) 5 5 625 P X C   ； 2 2 2 4 2 3 216( 2) ( ) ( ) 5 5 625 P X C   ； 3 3 14 2 3 96( 3) ( ) ( ) 5 5 625 P X C   ； 4 4 4 2 16( 4) ( ) 5 625 P X C   ． 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 高三 理科数学 第 3页 （共 6 页） X 的期望值为 2 8( ) 4 5 5 E X np    ． ………………8分 （2）孙先生租用一次新能源分时租