专题01 集合-2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

高一学科素养能力竞赛集合专题训练 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：全国高中数学联赛试题精选 【典例例题】 模块一：易错试题精选 【例1】已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断. 【详解】 根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 【例2】非空集合具有下列性质：①若，则；②若，则，下列判断一定成立的是（ ） （1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则. A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【详解】 由①可知. 对于（1），若，对任意的，，则， 所以，，这与矛盾，（1）正确； 对于（2），若且，则，，， 依此类推可得知，，，，，，（2）正确； 对于（3），若，则且，由（2）可知，，则， 所以，，（3）正确； 对于（4），由（2）得，，取，则，所以（4）错误. 故选：C. 【例3】设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 因为，所以当时，由可得：； 当时，由可得：； 当时，由可得：， 当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立， 所以, 因此中元素的个数为5. 故选：C 【例4】已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【详解】 解：（1）若中只有一个元素， 则当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程为二元一次方程，，即， 故当或时，原方程只有一个解； （2）中至少有一个元素， 即中有一个或两个元素， 由得综合（1）当时中至少有一个元素； （3）中至多有一个元素， 即中有一个或没有元素 当， 即时原方程无实数解， 结合（1）知当或时中至多有一个元素. 【例5】给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论： ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合、为闭集合，则为闭集合． 其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误； 对于命题②，任取、，则存在、，使得，， 且，，所以，，， 所以，集合为闭集合，②正确； 对于命题③，若集合、为闭集合，取，， 则或， 取，，则，， 所以，集合不是闭集合，③错误. 因此，正确的结论个数为. 故选：B. 【例6】设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（ ） A．整数集是数域 B．若有理数集，则数集必为数域 C．数域必为无限集 D．存在无穷多个数域 【答案】CD 【详解】 要满足对四种运算的封闭，逐个检验； A.对除法如∉Z不满足，所以排除； B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除； C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确； D.把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确. 故选:CD. 【例7】已知集合则的关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由，即可判断集合的关系. 【详解】 解：因为，， 所以. 故选：C． 【例8】以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可. 【详解】 对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对； 对于②：空集是任何集合的子集，，②对； 对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对； 对于④：根据集合的无序性可知，④对； 对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对； 正确的是：②④． 故选：B． 【例9】已知集合满足，则满足条件的集合的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】 因为集合满足， 所以满足条件的集合有：， 即集合的个数是3， 故选：B. 【例10】（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】 对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断； 对于B：取特殊值1，由，而，即可判断； 对于D：由集合P、Q的类别