精品解析：河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学（理）试题

河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集则（ ）． A. B. C. D. 3. 某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是（ ） A. 与2016年相比，2019年一本达线人数减少 B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了倍 C. 2016年与2019年艺体达线人数相同 D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 4. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C： (a>b>0)和直线l：，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 某几何体三视图如图所示，则此几何体 A. 有四个两两全等的面 B. 有两对相互全等的面 C. 只有一对相互全等的面 D. 所有面均不全等 9. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是 A. B. C. D. 10. 已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为________. 14. 已知数列，若数列的前项和，则的值为________. 15. 由数字组成的一串数字代码，其中恰好有个，个，则这样的不同数字代码共有____________个. 16. 已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17. 如图，在中，是边上的一点，，，， （1）求的长； （2）若，求的值． 18. 在中，，分别为，中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. 如图1 如图2 （1）证明：平面平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）. （1）求值； （2）请画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望. 20. 已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2. （1）求E的方程； （2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点. 21. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）讨论函数的零点的个数． 22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的