模块综合检测（二）(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

模块综合检测（二） （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝（　　） A.－3 B.－11 C.－5 D.19 2.已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'＝（　　） A.－ B. C. D.－ 3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于（　　） A.1 B.0 C.1或0 D.－1 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 5.已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝（　　） A.2n－1 B. C. D. 7.若定义在R上的函数y＝f（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（　　） A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0） C.f（a）＝eaf（0） D.不能确定 8.若函数f（x）＝ax－ln x在区间（0，e]上的最小值为3，则实数a的值为（　　） A.e2 B.2e C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）（　　） A.在（－∞，0）上单调递减 B.在x＝0处取极大值 C.在（4，＋∞）上单调递减 D.在x＝2处取极小值 10.已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是（　　） A.一定是等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.可能是等比数列 D.可能既非等差数列又非等比数列 11.对于函数f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，下列说法正确的是（　　） A.x＝3是函数f（x）的一个极值点 B.f（x）的单调递增区间是（－1，1），（2，＋∞） C.f（x）在区间（1，2）上单调递减 D.直线y＝16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有3个交点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝　　　　.　 13.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时，底面边长为　　　　. 14.如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，……，圆Dn＋1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn.设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为 Xn（n∈N＋），则Xn＝　　　　（用含n，a的代数式表示）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S（t）. （1）求切线l的方程； （2）求S（t）的解析式. 16.（本小题满分15分）已知等差数列{bn}中，bn＝log2（an－1），且a1＝3，a3＝9. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a＝－1时，证明：当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋2＞0. 18.（本小题满分17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成等差数列. （1）求an； （2）是否存在m∈N＋，使得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＞6am对任意的n∈N＋成立？若存在，求出m的所有取值；否则，请说明理由. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ex－ax和g（x）＝ax－ln x有相同的最小值. （1）求a； （2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块综合检测　（二） 1.D　2.C　3.A　4.A　5.A　6.B 7.B　8.A　9.BCD 10.ABC　由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋（2n＋3）d]－[2a1＋（2n＋1）d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确.故选A、B、C. 11.ACD　由题意得f'（x）＝＋2x－10＝，x＞－1，令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1，x＝3，则f（x）在（－1，1），（3，＋∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，∴x＝3是函数f（x）的一个极值点，故A、C正确，B错误；∵f（1）＝16ln（1＋1）＋12－10＝16ln 2－9，f（3）＝16ln（1＋3）＋32－10×3＝16ln 4－21，又y＝16ln 3－16＝f（2），根据f（x）在（1，3）上单调递减得f（1）＞f（2）＞f（3），即16ln 3－16＜16ln 2－9，16ln 3－16＞16ln 4－21，∴直线y＝16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有3个交点，故D正确. 12.　解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1）－（3n－1＋1）＝2×3n－1. 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1， 所以an＝ 13.　解析：设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V（x＞0），∴S'＝（x3－4V）.由S'＝0，得x＝，可判断当x＝时，S取得最小值. 14.πa2　解析：等边三角形的内心、重心、外心、垂心四心合一，所以圆D1的半径为×a＝a，面积为·π；圆D2的半径为×a，面积为··π；圆D3的半径为×a，面积为··π；以此类推，圆Dn的面积为··π，所以各圆面积构成首项为·π，公比为的等比数列，所以Xn＝＝·π·＝πa2·. 15.解：（1）∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x， 当x＝t时，yx'＝－e－t. 故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t）， 即x＋ety－（t＋1）＝0. （2）令y＝0，得x＝t＋1. 令x＝0，得y＝e－t（t＋1）. ∴S（t）＝（t＋1）·e－t（t＋1）＝（t＋1）2e－t（t≥0）. 16.解：（1）设等差数列{bn}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得b1＝log2（a1－1）＝log22＝1，b3＝log2（a3－1）＝log28＝3， ∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，∴bn＝1＋（n－1）×1＝n. （2）由（1）知bn＝n，∴log2（an－1）＝n，∴an－1＝2n， ∴an＝2n＋1. ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝（2＋1）＋（22＋1）＋…＋（2n＋1） ＝（2＋22＋…＋2n）＋n ＝＋n＝2n＋1＋n－2. 17.解：（1）根据题意知，f'（x）＝（x＞0）， 当a＞0时，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）； 同理，当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）； 当a＝0时，f（x）＝－3，不是单调函数，无单调区间. （2）证明：当a＝－1时，f（x）＝－ln x＋x－3， 所以f（1）＝－2， 由（1）知f（x）＝－ln x＋x－3在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞f（1）， 即f（x）＞－2，所以f（x）＋2＞0. 18.解：（1）因为6，2Sn，an成等差数列，所以4Sn＝an＋6，所以4Sn－1＝an－1＋6（n≥2）， 两式相减得4an＝an－an－1，即an＝－an－1（n≥2）. 当n＝1时，4S1＝a1＋6，所以a1＝2， 故{an}是以2为首项，－为公比的等比数列，所以an＝2·. （2）结合（1）得anan＋1＝4·， 所以原不等式等价于4［＋＋…＋］＞12·，即＞3·，即＜. 因为1－＜1且n→＋∞时1－→1，所以上述不等式转化为≥， 显然m为偶数，且m＝2成立. 当m≥4时，≤，不满足题意，故m＝2. 19.解：（1）f'（x）＝ex－a，g'（x）＝a－. ①若a≤0，f'（x）＞0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，即f（x）无最小值； ②若a＞0，当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）在x＝ln a处取得最小值f（ln a）＝a－aln a. 当x∈时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈时，g'（x）＞0，g（x）单调递增. ∴g（x）在x＝处取得最小值g＝1＋ln a. 又f（x）与g（x）有相同的最小值， ∴a－aln a＝1＋ln a，a＞0. 设h（a）＝aln a＋ln a－a＋1，a＞0， 则h'（a）＝＋ln a， 令φ（a）＝h'（a），则φ'（a）＝－＋＝，a＞0， 当a∈（0，1）时，φ'（a）＜0，h'（a）单调递减. 当a∈（1，＋∞）时，φ'（a）＞0，h'（a）单调递增. ∴h'（a）在a＝1处取得最小值h'（1）＝1＞0，则当a＞0时，h'（a）＞0恒成立，h（a）单调递增. 又h（1）＝0，∴a＝1. （2）证明：由（1）得f（x）＝ex－x，g（x）＝x－ln x， 且f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，f（x）min＝g（x）min＝1. 当直线y＝b与曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3， 则f（x1）＝f（x2）＝g（x2）＝g（x3）＝b. ∵f（x）＝ex－x，g（x）＝x－ln x＝eln x－ln x＝f（ln x）， ∴f（x1）＝f（x2）＝f（ln x2）＝f（ln x3）. 由于x2≠x1，x2≠ln x2，∴x2＝ln x3，x1＝ln x2， 则f（ln x2）＝－ln x2＝x2－ln x2＝x2－x1＝b， f（ln x3）＝－ln x3＝x3－ln x3＝x3－x2＝b， 上述两式相减得x1＋x3＝2x2，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $