专题02 不等式-2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第2讲 高一学科素养能力竞赛不等式专题训练 【题型目录】 模块一：均值不等式 模块二：柯西不等式 模块三：权方和不等式 模块四：培优试题精选 模块五：全国高中数学联赛试题精选 【典例例题】 模块一：均值不等式 1、高中阶段涉及的几个平均数：设 （1）调和平均数： （2）几何平均数： （3）代数平均数： （4）平方平均数： 2、均值不等式：，等号成立的条件均为： 特别的，当时，即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 【例1】，，且，不等式恒成立，则的范围为_______. 【例2】若， ，则的最小值为__________． 【例3】若是正实数，且，则的最小值为　 　． 【例4】设，，则的最小值是 ． 【例5】已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．2 B．4 C．8 D．12 【例6】若实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例7】已知，且，则的最小值是(       ) A．49 B．50 C．51 D．52 【例8】设，，，则的最小值为______． 【例9】已知，，且，则的最小值为___________. 【例10】若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【例11】设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（       ） A． B． C． D． 【例12】已知，，，则取到最小值为 ________． 【例13】对任意x，y，，则（ ） A. B. C. D. 模块二：柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式 若都是实数，则，当且仅当时，等号成立. （2）已知都是实数，则： （3）已知同号且不为0，则： 【例1】（柯西不等式）实数x、y满足，则的最小值是（ ） A． B． C．3 D．4 【例2】若实数，则的最小值为（ ） A．14 B． C．29 D． 【例3】已知：，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例4】已知a，，，则的最大值为（ ） A．18 B．9 C． D． 【例5】若实数，则的最小值为（ ） A．14 B． C．29 D． 【例6】“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　） A． B． C． D． 【例7】已知，，且，则的最小值是______. 【例8】已知，，均为非负数，且，则的最小值为______． 模块三：权方和不等式 二元：已知，则有： （当且仅当时，等号成立）. 一般形式：设()，实数，则， 其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式. 【例1】已知，且满足，则的最小值为________． 【例2】已知，，则的最小值为 . 【例3】 已知x＞0，y＞0，且则的最小值是 ． 【例4】已知，则的最小值为 . 【例5】已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是　 　． 模块四：培优精选试题 【例1】已知实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知，且，则下列不等式不正确的（       ） A． B． C． D． 【例3】已知正实数，满足，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．4 D． 【例4】已知正数，满足，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【例5】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例6】若a，，，则的最大值为（       ） A． B． C．2 D．4 【例7】已知，，下列命题中正确的是（       ） A．“”的最小值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例8】已知，是正实数，则下列选项正确的是（       ） A．若，则有最小值2 B．若，则有最大值5 C．若，则有最大值 D．有最小值 【例9】已知，且，则下列结论正确的是（       ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为