河北省承德市双滦区实验中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题
2018--2019学年度第一学期期中考试
高三理科数学试题
说明：本试卷共22个小题，满分150分，时间120分钟。Ⅰ卷答案涂在答题卡上，只交答题纸。
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．设集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D． 
2．已知实数
满足
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．给出下列命题：
①已知
，“
且
”是“
”的充分条件；
②已知平面向量
，“
”是“
”的必要不充分条件；
③已知，“
”是“
”的充分不必要条件；
④命题
：“
，使
且
”的否定为
：“
，都有
且
”.其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.若定义在
上的偶函数
满足
，且当
时， 
，则函数
的零点个数是（ ）
A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
6.若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C．
D．
7、[2018·渭南质检]如图，正方形
内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知等比数列
的前
项和
满足
，且
则
等于（ ）
A．
B．27 C．
D．9
9．设
～
，其正态分布密度曲线如图，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若～
，则
,
）
A．
B．
C．
D．
1
人 生 只 有 走 出 来 的 智 力， 没 有 等 出 来 的 辉 煌。
10、函数
的图像大致是（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
11. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的直径为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.已知椭圆
的左顶点和上顶点分别为
，左、右焦点分别是
，在直线AB上有且只有一个点
满足
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知平面向量
，
的夹角为
，
，
，则
____．
14、在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7= ．
15、已知
的展开式中，二项式系数和为
，各项系数和为
，则
．
16、已知抛物线
的焦点为
，点
在
轴上，线段
的中点
在抛物线上，则
．
三、解答题（共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17--21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
17、（本题满分12分）
在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，已知
，
（1）若
，求
的值，
（2）若
，求面积的最大值．
18、（本题满分12分）
在四棱锥
中，侧面
底面
，底面为直角梯形，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.
19、（本题满分12分）
已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
20、（本题满分12分）
某社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制
1
人 生 只 有 走 出 来 的 智 力， 没 有 等 出 来 的 辉 煌。
的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图：将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“围棋迷”与性别有关？
| 非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 |
男 |
|
|
|
女 |
| 10 | 55 |
合计 |
|
|
|
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为
.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望
附：
,
| 0.05 | 0.01 |
| 3.841 | 6.635 |
21、（本题满分12分）
已知函数
（1）当
时，求的单调区间；
（2）若
在
上恒成立，求
的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系
中，曲线
的方程是：
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设过原点的直线
与曲线交于
，
两点，且
，求直线的斜率．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数
．
（1）求函数
的最大值；
（2）若
，都有
恒成立，求实数
的取值范围．
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人 生 只 有 走 出 来 的 智 力， 没 有 等 出 来 的 辉 煌。