4.2 等差数列

4.2 等差数列 第四章 数列 4.2 等差数列 4.2.1等差数列的概念 例1 （1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项； （2）求等差数列8，5，2，…的第20项. 分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项. 解：（1）当时，由的通项公式，可得 . 于是. 把代入通项公式，得 . 所以，的公差为，首项为3. （2）由已知条件，得 . 把，代入，得 . 把代入上式，得 . 所以，这个数列的第20项是. 例2 是不是等差数列，，，……的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看是否能使这个方程有正整数解. 解：由，，得这个数列的通项公式为 . 令， 解这个关于n的方程，得. 所以，是这个数列的项，是第100项. 练习 1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差． （1）95，82，69，56，43，30； （2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111； （3）1，－2，3，－4，5，－6； （4）1，，，，，，． 2．求下列各组数的等差中项： （1）647和895；         （2）和. 3．已知在等差数列中，，．求． 4．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围. 分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解. 解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得 . 由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是 . 根据题意，得 即 解这个不等式组，得. 所以，d的取值范围为. 例4 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列. （1）求数