第04章 圆与方程 章末复习课（课件）-2018版步步高学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修2）浙江专用

章末复习课 第四章　圆与方程 学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想. 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1.圆的方程 (1)圆的标准方程： . (2)圆的一般方程： . 2.点和圆的位置关系 设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P . (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P . (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P . 3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d r→相离；d___r→相切；d r→相交. (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 在圆外 在圆内 在圆上 > ＝ < 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d <r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 4.圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则 5.求圆的方程时常用的四个几何性质 6.与圆有关的最值问题的常见类型 (1)形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题. 7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 8.空间中两点的距离公式 空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2| ＝_____________________________. 题型探究 类型一　求圆的方程 例1　根据条件求下列圆的方程. (1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程； 解答 解　由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0， ∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. 解答 解　方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 又∵b＝2a， ∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4， ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 方法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10， ∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a. 将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10， 得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16. ∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式. 第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组). 第三步：解出a，b，r(或D，E，F). 第四步：代入圆的方程. 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等. 反思与感悟 解析　取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB. 跟踪训练1　如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为_____________________. 答案 解析 又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)， 类型二　直线与圆的位置关系 例2　已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程； 解答 解　圆心C(1,2)，半径为r＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切. ②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0. 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－