专题20 空间向量在立体几何中的应用-决胜一轮高考数学（理）专题卷

跟踪知识梳理 考纲解读： 1.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 2.能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性作用. 考点梳理： 1.法向量的有关概念及求法 如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量. 法向量的求法步骤： (1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)；[来源:Z.xx.k.Com] (2)列：根据n·a=0且n·b=0可列出方程； (3)解：把z看作常数，用z表示x,y； (4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好)，便得平面法向量n的坐标.[来源:学|科|网Z|X|X|K] 2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线AB、CD的方向向量分别为 、 . 一般关系：设直线AB与CD所成的角为θ (θ∈[0, ] )，则cosθ=|cos〈 , 〉|= . 特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD ⊥ (用于证明线线垂直); (ⅱ)AB∥CD ∥ 存在实数λ,使 (用于证明线线平行). (2)线面关系：若平面α外的直线AB的方向向量为 ，平面α的法向量为n. 一般关系:设直线AB与平面α所成的角为θ(θ∈[0, ])，则有sinθ=|cos〈 ,n〉|= . 特殊关系：(ⅰ)AB⊥α ∥n 存在实数λ，使 =λn(用于证明线面垂直)； (ⅱ)AB∥α ⊥n ·n=0(用于证明线面平行). (3)面面关系：若平面α的法向量为n，平面β的法向量为m. 一般关系:设以α,β为面的二面角为θ(θ∈[0,π]),则θ与〈n,m〉相等或互补. 当二面角为锐(直)二面角时，cosθ=|cos〈n,m〉|= . 当二面角为钝二面角时,cosθ= . 特殊关系:(ⅰ)α⊥β n⊥m EMBED Equation.DSMT4 (用于证明面面垂直)； (ⅱ)α∥β n∥m 存在实数λ，使⑨ (用于证明面面平行). (4)点到平面的距离：若AB是平面α外的一条线段，B是AB与平面α的交点，平面α的法向量为n. 设点A到平面α的距离为d,则d等于 在n上的射影的绝对值. 即d=|| |cos〈 ,n〉|= . (5)异面直线间的距离：若异面直线AB、CD的方向向量分别为 、 ，n⊥ ，n⊥ ，又M∈AB，P∈CD，则异面直线AB、CD间的距离d= . 核心能力必练 一、选择题 1．(2018福建四地七校4月联考,10)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,则A1B与平面ABD所成角的余弦值为 (　　) A.  　    B.  　    C.  　    D.   2．在平行六面体 中，若 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 3．如图所示，已知空间四边形 ，其对角线为 ， ， 、 分别为 、 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D．1 4．设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．已知点 和向量 ，若向量 EMBED Equation.DSMT4 ，且 ，则B点的坐标为（ ） A． B． 或 C． D． 或 6．在空间直角坐标系 中，四面体 各顶点坐标分别是 ， ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 7．如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 且 ， ，点 是 上一点，当二面角 为 时， （ ） A. B. C. D. 8．如图，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ， ， 在 上，且 平面 ，则 点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9．已知 ， ， ，点 在平面 内，则 （ ） A． B． C． D． 10．若平面α、β的法向量分别为 ＝(2,3,5)， ＝(－3,1，－4)，则( ) A．α∥β