常用逻辑用语（充分必要条件的判断与证明）高频考点专项练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦充分必要条件判断与证明，覆盖解析几何、复数、立体几何等多章节，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化一轮复习逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|直线平行、复数、线面关系等基础判断|基础概念辨析，覆盖高频考点| |多选题|3|三角形边角关系、函数极值等综合判断|多选项辨析，强化易错点| |填空题|2|向量新运算、充要条件参数范围|创新情境与参数求解结合| |解答题|4|三角形形状证明、数列与函数综合证明|强调逻辑推理，突出充要条件证明过程|

常用逻辑用语（充分必要条件的判断与证明） 高频考点专项练 2027届高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 3．若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．在中，记，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 6．已知向量，是两个不共线的向量，若，，则“，，三点共线”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知三次函数 ，则 “ ” 是 “ 是 的极大值点” 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 11．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 12．下列说法中正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．函数的最小值是 C．“，恒成立”的充要条件是“” D．若，则等于 13．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 三、填空题 14．已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的_____条件（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要） 15．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 四、解答题 16．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 17．已知，，求证：对任何正整数都成立，并指出等号成立的充要条件． 18．已知全集，集合，集合是函数的定义域，且为非空集合． (1)分别求，． (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 19．已知函数，记等差数列的前n项和为，记． (1)证明：曲线是对称中心为的中心对称图形； (2)证明：“”是“”的充要条件； (3)时，求函数在区间上的零点个数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A A C A C A C 题号 11 12 13 答案 ACD CD AC 1．A 是的充要条件. 2．C 由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件. 3．B 根据可知直线在平面内或直线与平面相交， 故是的必要不充分条件． 4．A 因为是三角形内角，因此. 若，结合可得，此时，因此充分性成立； 若，结合可得或， 当时，，因此必要性不成立. 综上，是的充分不必要条件. 5．A 若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或； 所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 6．C 已知不共线，，. 充分性证明：若三点共线，则存在非零实数，使得. 代入得，即. 由不共线，得，消去得，即. 必要性证明：若，则，即， 此时， 故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 综上，“三点共线”是“”的充分必要条件. 7．A 根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可. 设等比数列的公比为，首项为. 甲：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，所以. 乙：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，解得或. 所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分不必要条件. 8．C 将其转化为函数，结合图像即可求解 考虑为到的斜率， 因为， 因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示， 若，则，而 同号，由图及单调性可得； 若，则必定成立，故为充要条件． 9．A 先对函数求导，找出可能的极值点，分析条件下导数的符号变化，判断是否为极大值点，从而验证充分性，再举反例说明必要性不成立即可. 由题设，， 若，则，故当或时，，当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 故为的极大值点，从而充分性成立； 当时，有，则， 当或时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 此时为的极大值点，但条件并不成立，从而必要性不成立； 因此“ ” 是 “ 是 的极大值点” 的充分不必要条件. 10．C 对或展开化简，得到，不妨取，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 11．ACD 对于A选项，结合三角形边角的性质和正弦定理边角互化，分别证明充分性与必要性即可判断；对于B选项，根据角度比例算出三个内角的具体值，再利用正弦定理得到三边的比例关系进行判断；对于C选项，通过正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求出的值，进而得到角；对于D选项，利用正弦定理将边的平方比转化为正弦平方的比，再结合余弦定理化简，分析角、的关系判断三角形形状. 选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：， 因此是的充要条件. 选项B，若，结合内角和，得. 由正弦定理，B错误. 选项C，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：， 因此，即，为等腰三角形. 12．CD 由，得，则，解得，所以A错误； 令，则，即， 由对勾函数性质知在上单调递增，， 则函数的最小值不是，故B错误； ，恒成立， 当时，不等式恒成立， 当时，有，解得， 综上所述，“，恒成立”的充要条件是“”，故C正确； 由，则， ， 则， 故D正确. 13．AC 对于A，通过求导得到函数的单调性，结合极值点的定义即可判断；对于B，取，即可判断；对于C，根据函数的图象可判断；对于D，充分性代入可判断，必要性可通过取，判断. ，令，解得， 当，，函数在上单调递增， 当，，函数在上单调递减， 当，，函数在上单调递增， 所以，的极大值点为，极小值点为，所以有两个极值点，故A正确； 取，，， 所以，不符合时，，故B错误； ，令，即，解得或， 为开区间，若在有最大值， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 当时，则， 所以 ， 所以是的充分条件， 若， 取，，，， 满足，此时， 所以不是的必要条件， 综上，是的充分不必要条件，故D错误. 14．必要不充分 根据向量垂直关系的坐标表示，求出新定义条件和垂直条件的坐标关系，判断他们之间的推导关系. 根据新定义可知若，则， 则或， 当时，， 所以 “”可以推导出“”，但是“”不可以推导出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 15． 先求出，对应的集合，由题设可得，，进而得到是的真子集，根据包含关系求解即可. 由，则， 由，则，即， 因为是的必要不充分条件，所以，， 则是的真子集， 则，等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 16．为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析 根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可. 解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1). 显然 ,即. 充分性:在中,,不是直角. 假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D. 则 . 即,与“”矛盾. 故为锐角,即为锐角三角形.    (2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然: .即. 充分性:在中,, 不是直角,假设为锐角,如图(1), 则 .即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形. 17．证明见解析，充要条件是，即． 设，，应用二项式定理有，结合即可证，注意等号成立条件即可. 设，，则，， 对于任何正整数，都有， 因为，，，所以，，， 即，对任何正整数等号成立都成立的充要条件是，即． 18．(1)，或. (2) （1）由集合的交集，并集，补集运算求解即可； （2）是的必要不充分条件，所以⫋，建立不等式组求解即可. （1）由得， 则，， 所以，或， 所以或. （2）若是的必要不充分条件，所以⫋， 且为非空集合， 所以，所以解得， 所以的取值范围为. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 （1）由可得答案； （2）由已知得，再由（1）可得充分性；①假设，即，利用导数判断出函数在上单调递增，得出矛盾.②假设，同①理得，矛盾.③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立.必要性得证； （3）的周期，分、、讨论，即可得. （1）函数的定义域为，， 所以曲线是中心对称图形，且对称中心为，得证； （2）（i）先证明充分性：若，则， 所以， 所以. 所以，充分性得证； （ii）再证明必要性：若， ①假设，则，即， ，所以函数在上单调递增， ， 同理， 所以，矛盾，假设不成立. ②假设，同①理得，矛盾，假设同样不成立. ③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立. 综上，必要性得证， 所以“”是“”的充要条件； （3）由题设， ①时，（等号不可同时取得），此时，函数无零点. ②时，，所以此时，函数无零点， ③时，， 令， 由复合函数的性质可得函数在区间上单调递增， 时，，， 由零点存在定理：，使得， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 因为，所以， 因为在上单调递减， 由零点存在定理：，使得. 综上所述，在上有2个零点，分别为. 学科网（北京）股份有限公司 $