专题3.1 空间几何体的表面积和体积-2019年高考数学二轮复习创新课堂

2019年高考数学二轮复习创新课堂 专题三 立体几何 10 第1讲：空间几何体的表面积和体积 考情速递 1真题感悟 真题回放 1．（2018•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】：C 【解析】：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱． 如图所示： 故该几何体的体积为：V=． 故选：C． 2．（2018•新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　） A．12π B．12π C．8π D．10π 【答案】：B 【解析】：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R， 圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2， 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得：4R2=8，解得R=，则该圆柱的表面积为：=12π． 故选：B．[来源:学#科#网] 3. （2018•新课标Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　） A．12 B．18 C．24 D．54 【答案】：B 【解析】：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6， 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C==，OO′==2，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=18．故选：B． 4. （2018•江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　． [来源:学科网ZXXK] 【答案】： 【解析】：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=． 故答案为：． 2热点题型 题型一：空间几何体的表面积 例1.（2018•新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 【答案】：B 【解析】：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．故选：B． 题型二：空间几何体的体积[来源:学+科+网Z+X+X+K] 例2. （2018•天津）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为　　． 【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可． 【答案】： 【解析】 正方体的棱长为1，M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：， 四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为， 四棱锥M﹣EFGH的体积：=． 故答案为：． 3.新题预测[来源:学_科_网Z_X_X_K] 2（2018•濮阳三模）已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，且△PAB是边长为的正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B．4π C．7π D．16π 【答案】：C 【解析】：∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，[来源:Zxxk.Com] 又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，所以，BC⊥平面PAB， 设△PAB的外接圆半径为r，四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为R， 由正弦定理可得，所以，r=1， 所以，， 因此，该四棱锥的外接球的表面积为4， 故选：C． 3. （2018•武侯区校级模拟）祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易．”这里的“幂”指水平截面的面积．“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．于是可把半径相等的半球（底面在下）和圆柱（圆柱高等于半径）放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥（锥尖朝下），考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积．设由椭圆所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图，称为“椭球体”），请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积．其体积等于　　． 【答案】：b2a． 【解析】：椭圆的长半轴为a，短半轴为b，构造两个底面半径为b，高为a的圆柱， 然