专题3.4 高考热点链接-2019年高考数学二轮复习创新课堂

2019年高考数学二轮复习创新课堂 专题三 立体几何 13 高考热点链接 热点一几何体的三视图与面积和体积 【热度解读】空间表面积与体积是考查几何命题的热点，由于三视图不是命制的知识点，使得表面积与体积命题直接考查出现了新的视角，多以选择题填空题形式出现，考查空间想象能力。 例1．（2018•天津）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　　． 【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积． 【答案】 【解析】：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和， 四棱锥的高：A1C1=． 则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=． 故答案为：． 【名师点评】解关于表面积、体积问题常用方法： （1）分割法：一个几何体的体积等于它的各部分体积之和。 （2）补体法：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积.补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, （3）等积变换法： ①相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变）.[来源:Z_xx_k.Com] ②等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。 （4）计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解． 变式训练题1 （2018•河东区二模）麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576cm2，则一个麻团的体积为　　cm3． 【答案】：36π 【解析】：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等： 设麻团球形半径r，可得长方体长宽a=4r，高为h=2r， 长方体纸盒的表面积为576cm2，即32r2+32r2=576，解得：r2=9，即r=3， 可得一个麻团的体积V==36π．故答案为：36π． 热点二空间向量与立体几何 例2.（2018•宣城二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥CB，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，，M是棱PC上的点． （Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD； （Ⅱ）若PA=PD=2，BC=1，，异面直线AP与BM所成角的余弦值为，求的值． 【证明】：（Ⅰ）∵AD∥BC，，Q为AD的中点 ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD． ∵BQ⊥平面PAD ∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． 解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD． ∵PQ⊥平面ABCD． 以Q为原点分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，， 设M（x0，y0，z0）， ∴，，． 由M是PC上的点，设，化简得． 设异面直线AP与BM所成角为θ， 则． ∴，解得或，[来源:学&科&网] 故或． 专项训练题 1. （2018•历城区校级一模）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（　　） A．4π B．（4+）π C．6π D．（5+）π 2. （2018•呼伦贝尔一模）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（　　） A．5π B． C．20π D．4π 3. （2018•宁德二模）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x的值为（　　） A．1 B． C． D． 4. （2018•上海模拟）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，O是A1C1的中点，则三棱锥A﹣A1OB1的体积为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5. （2018•思明区校级模拟）已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E为ABCD的中心，A1E与球相交于FE，则E