3.4.1 三角函数的周期性（课件）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修2）

第3章　三角函数 3.4　函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象与性质 3.4.1　三角函数的周期性 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期．(重点) 3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点、难点) 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 1．三角函数的周期性 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且____________，则这个函数y＝f(x)称为____________，T称为这个函数的一个周期．如果周期函数y＝f(x)的所有的周 期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为这个函数的____________，我们也常常将“最小正周期”简称为“周期”． f(x±T)＝f(x) 周期函数 最小正周期 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 【想一想】 　能否由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,4)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5π,4)))＝sineq \f(5π,4)等说明eq \f(π,2)是y＝sin x的周期？ 提示：不能，周期函数中的定义中应要求对定义域中的每一个x，都满足f(x±T)＝f(x)，如果只有个别x的值满足f (x＋T)＝f(x)，则不能说f(x)的周期为T. 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 2．常见函数的周期 (1)y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是________. (2)y＝cos x是____________，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是________. (3)y＝tan x是周期函数，kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是_____. 2π 周期函数 2π π 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 【判一判】 正确的打“√”，错误的打“×” (1)若没有特别说明，求函数的周期就是求函数的最小正周期．(　　) (2)函数y＝3sin x的最小正周期为2π.(　　) (3)凡是周期函数都存在最小正周期．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 求三角函数的周期 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(2)y＝|cos x|. [思路点拨](1)利用周期函数的定义求解．(2)根据函数图象求解． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 解：(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋2π)) ＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π＋\f(π,3)))， ∴此函数的周期是π． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 (2)作出函数y＝|cos x|的图象，如图所示． 观察图象可知此函数的周期是π． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 　求三角函数周期的三种方法 (1)定义法． (2)观察法(图象法)． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 【互动探究】 　本题(2)中函数改为y＝cos |x|，则其周期又是什么？ 解：由诱导公式，得 y＝cos |x|＝cos x． ∵cos x＝cos(2π＋x)， ∴其周期T＝2π． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 正、余弦函数周期性的应用 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则feq \b\lc\(\