专题1.2 函数和导数-2019年高考数学二轮复习创新课堂

考情速递 1真题感悟 真题回放 1.（2018全国Ⅰ·5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 【答案】D 【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x. 2．（2018全国卷2）(2018全国Ⅱ·12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 【答案】C 3.(2018全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=-x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2. (1)解　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=-. ①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. ②若a>2,令f'(x)=0得,x=或x=. 当x∈时,f'(x)<0; 当x∈时,f'(x)>0.所以f(x)在单调递减,在 单调递增. (2)证明 由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1. 由于=--1+a=-2+a=-2+a, 所以<a-2等价于-x2+2ln x2<0. 设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0. 所以-x2+2ln x2<0,即<a-2. 2热点题型 例1.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=,实数a,b满足不等式f(2a+b)+f(4-3b)>0,则下列不等式恒成立的是(　　) A.b-a<2 B.a+2b>2 C.b-a>2 D.a+2b<2 【答案】C 提示：先判断函数f(x)为奇偶性，再利用函数的性质去掉符号“f”，转化为关于a、b的不等式即可判断。 变式训练1 .(2018山东烟台一模)定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则使得f(x)>f(x2-2x+2)成立的x的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1) D.(2,+∞) 【答案】A 【解析】由题意可知f(x)在R上单调递增,要使f(x)>f(x2-2x+2)成立,只需x>x2-2x+2,解得1<x<2,故选A. 例2..(2018全国Ⅲ)直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　. [来源:学§科§网] 【答案】-3 变式训练3 .(2018重庆二诊)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A.9 B. C. D. 【答案】B 【解析】由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=, ∴f'(x)=,∴f'(1)=-. ∴曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1). 令x=0,得y=;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=×7=. 变式训练4 .(2018辽宁大连一模)过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.,+∞ C.(1,+∞) D.(2,+∞) 【答案】C 【解析】y=ex,y'=ex,切线斜率为,切线方程为y-y0=(x-x0), 当x=0时,y=-x0+y0=-x0(1-x0)<0,∴x0>1,则x0的取值范围是(1,+∞),故选C. 变式训练5 .(2018河南中原名校质量考评)已知f(x)=(x2+2ax)ln x-x2-2ax在(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是(　　) A.{1} B.{-1} C.(0,1] D.[-1,0) 【答案】B 【解析】f(x)=(x2+2ax)ln x-x2-2ax,f'(x)=2(x+a)ln x, 已知f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 当x=1时,f'(x)=0满足题意. 当x>1时,ln x>0,要使f'(x)≥0恒成立,则x+a≥0恒成立, ∵x+a>1+a,∴1+a≥0,解得a≥-1. 当0<x<1时,ln x<0,要使f'(x)≥0恒成立,则x+a≤0恒成立, ∵x+a<1+a,∴