专题1.3 函数和方程-2019年高考数学二轮复习创新课堂

2019年高考数学二轮复习创新课堂 专题一 集合函数导数方程不等式 03 第3讲函数与方程 考情速递 1真题感悟 真题回放 1.（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x）， 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D． 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C， 故选：B． 2.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】：C 【解析】：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a， 作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图： 当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g（x）存在2个零点， 故实数a的取值范围是[﹣1，+∞）， 故选：C． 2热点题型 题型一：函数的图像 例1．（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D． 【提示】直接利用函数的图象和性质求出结果． 变式训练1 1（2018•新课标Ⅲ）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，故选：D． 变式训练2 2修订为（2018•红谷滩二模）函数y=的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】：D； 【解析】：函数y=是偶函数，排除B． 当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A， 当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知x=是函数的一个极值点，排除C． 故选：D． 题型二：函数的零点问题 例2.（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　　． 【答案】（4，8） 【解析】：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax， 得x2+ax+a=0，[来源:学科网ZXXK] 得a（x+1）=﹣x2， 得a=﹣， 设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣， 由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增， 由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4， 当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax， 得x2﹣ax+2a=0， 得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立， 当x≠2时，a= 设h（x）=，则h′（x）==， 由h′（x）＞0得x＞4，此时递增， 由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8， 要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解， 则由图象知4＜a＜8， 故答案为：（4，8） 【提示】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可． 变式训练3 1．（2018•聊城模拟）已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（　　） A．a＞e B．x1+x2＞2 C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0 【答案】：C； 【解析】：∵f（x）=ex﹣ax， ∴f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a＞0， ①当a≤0时，f′（x）=ex﹣a＞0在x∈R上恒成立， ∴f（x）在R上单调递增． ②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna， ∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增． ∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2， ∴f（lna）＜0，a＞0， ∴elna﹣alna＜0， ∴a＞e，A正确； x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2）， 取a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，B正确； f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确； f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，由图象观察可得x1+x2＜2x0=2lna，D正确