第2章 5.1 直线间的夹角、5.2 平面间的夹角（课件）-2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-1）

第二章　空间向量与立体几何 § 5　夹角的计算 5.1　直线间的夹角 5.2　平面间的夹角 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1. 能够利用向量方法解决线线、面面夹角的计算问题． 2．掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．直线间的夹角 (1)当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在__________内的角叫作两直线的夹角． (2)当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作__________________________. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 异面直线l1与l2的夹角 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 (3)空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定． 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2. 当0≤〈s1，s2〉≤eq \f(π,2)时，直线l1与l2的夹角等于__________； 当eq \f(π,2)<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于______________. 〈s1，s2〉 π－〈s1，s2〉 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 2．平面间的夹角 (1)如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 (2)已知平面π1与π2的法向量分别为n1和n2. 当0≤〈n1，n2〉≤eq \f(π,2)时，平面π1与π2的夹角等于__________； 当eq \f(π,2)<〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于____________. 〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 3．两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？ 提示：两平面的夹角范围是0≤θ≤eq \f(π,2)，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围为0≤θ≤π，其余弦值取eq \f(n1·n2,|n1||n2|)还是－eq \f(n1·n2,|n1||n2|)应结合具体情况而定． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 求异面直线的夹角 如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝eq \f(π,3)时，求异面直线AC与VD夹角的余弦值． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 [思路点拨]　确定A，C，V，D的坐标，求向量eq \o(AC,\s\up15(→))与eq \o(VD,\s\up15(→))的坐标，计算cos〈eq \o(AC,\s\up15(→))，eq \o(VD,\s\up15(→))〉的大小，并转化为AC与VD夹角的余弦值． 解：∵C为原点，AC＝BC＝2，D是AB的中点， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 当θ＝eq \f(π,3)时，在Rt△VCD中，CD＝eq \r(2)，∴V(0,0，eq \r(6))． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 ∴eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－2,0,0)，eq \o(VD,\s\up15(→))＝(1,1，－eq \r(6))． ∴cos〈eq \o(AC,\s\up15(→))，eq \o(VD,\s\up15(→))〉＝eq \f(\o(AC,\s\up15(→))·\o(VD,\s\up15(→)),|\o(AC,\s\up15(→))||\o(VD,\s\up15(→))|)＝eq \f(－2,2×2\r(2))＝－eq \f(\r(2),4). ∴异面直线AC与VD夹角的